Question

Lim(sin7x-sin5x)/(x^2+pix`)при x стремящийся 0. найти предел

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x-\sin 5x}{x^2+\pi x}= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x(x+\pi )} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x(x+\pi )}=\\ \\ \\ = \lim_{x \to 0} \frac{7}{x+\pi} -\lim_{x \to 0} \frac{5}{x+\pi} =\lim_{x \to 0}\frac{2}{x+\pi}= \frac{2}{ \pi }$

Answer 2

Чтобы найти предел выражения \(\frac{\sin(7x) - \sin(5x)}{x^2 + \pi x}\) при \(x \to 0\), давайте воспользуемся несколькими свойствами тригонометрии и алгебры пределов.

Имеем: \[ \begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x) - \sin(5x)}{x^2 + \pi x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(6x)\sin(x)}{x(\pi + x)} \quad \text{(Используем формулу разности синусов)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(6x)}{\pi + x} \quad \text{(Упрощаем дробь, деля и числитель, и знаменатель на }\sin(x)) \\ &= \frac{2\cos(0)}{\pi + 0} \quad \text{(Подставляем \(x = 0\), так как \(\lim_{x \to 0} \cos(6x) = \cos(0) = 1\))} \\ &= \frac{2}{\pi}. \end{align*} \]

Таким образом, предел данного выражения при \(x \to 0\) равен \(\frac{2}{\pi}\).