Question

Найдите первообразную функции f(x)= sinx - cosx, график которой проходит через точку M( pi/2;1)

Answer 1

Всё решаем по формулам......................

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = \sin(x) - \cos(x)\), мы будем интегрировать каждый из ее компонентов по отдельности. Начнем с интеграла \(\int \sin(x) \,dx\).

1. \(\int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C_1\), где \(C_1\) - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь найдем интеграл для \(\cos(x)\):

2. \(\int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C_2\), где \(C_2\) - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты:

\[ \int (\sin(x) - \cos(x)) \,dx = -\cos(x) + \sin(x) + C, \]

где \(C = C_1 + C_2\) - общая постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение постоянной \(C\), используем условие, что график проходит через точку \(M\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)\):

\[ -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = -1 + 1 + C = 0. \]

Отсюда получаем, что \(C = 0\), и окончательная первообразная функции \(f(x) = \sin(x) - \cos(x)\) имеет вид:

\[ F(x) = -\cos(x) + \sin(x). \]

Таким образом, \(\int (\sin(x) - \cos(x)) \,dx = -\cos(x) + \sin(x) + C\), где \(C = 0\).