Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x3-27x

Answer 1

F(x)=x³-27x
1) f `(x)=(x³-27x)`=3x²-27=3(x²-9)=3(x-3)(x+3)
2) f `(x)=0 при 3(x-3)(x+3)=0
                           x=3  v  x=-3
               +                      -                     +
3)_________-3____________3________
                ↑                     ↓                     ↑
f(x) - возрастает на (-∞;-3)U(3;+∞)
f(x)- убывает на (-3;3)

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 - 27x\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(f'(x)\). 2. Решить уравнение \(f'(x) = 0\) для определения критических точек. 3. Построить таблицу знаков производной, используя найденные критические точки. 4. Определить промежутки возрастания и убывания, исходя из знаков производной.

Шаг 1: Найти производную \(f'(x)\)

\[ f(x) = x^3 - 27x \]

\[ f'(x) = 3x^2 - 27 \]

Шаг 2: Решить уравнение \(f'(x) = 0\)

\[ 3x^2 - 27 = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 3(x^2 - 9) = 0 \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = -3 \]

\[ x_2 = 3 \]

Шаг 3: Построить таблицу знаков производной

Выберем тестовые точки в каждом из трех интервалов, образованных корнями уравнения:

1. \( x < -3 \) 2. \( -3 < x < 3 \) 3. \( x > 3 \)

Подставим эти точки в \(f'(x)\) и определим знаки:

\[ \begin{align*} &\text{Точка} & f'(x) \\ &x < -3 & + \\ -3 < x < 3 & - & \\ &x > 3 & + \\ \end{align*} \]

Шаг 4: Определить промежутки возрастания и убывания

- Функция \(f(x)\) убывает на интервале \((- \infty, -3)\). - Функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-3, 3)\). - Функция \(f(x)\) убывает на интервале \((3, +\infty)\).

Таким образом, промежутки возрастания и убывания функции \(f(x)\):

- Убывает на \((- \infty, -3)\) - Возрастает на \((-3, 3)\) - Убывает на \((3, +\infty)\)