Question

Помогите пожалуйста срочно!!!!!! Найдите площадь фигуры(сделав чертёж),ограниченной линиями y=x^2-2,y=2x+1

Answer 1

Ищем точки пересечения данных графиков:
$x^2-2=2x+1 \\x^2-2x-3=0 \\D=4-4*1*(-3)=16=4^2 \\x_1= \frac{2+4}{2}=3 \\x_2= \frac{2-4}{2}=-1$
x=-1 и x=3 - пределы интегрирования.
$\int\limits^3_{-1} {((2x+1)-(x^2-2))} \, dx= \int\limits^3_{-1} (-x^2+2x+3)}= \\=(-\frac{x^3}{3}+ \frac{2x^2}{2}+3x)\int\limits^3_{-1}=-9+9+9-(\frac{1}{3}+1-3)= \\=9- \frac{1}{3}+2=11- \frac{1}{3}= \frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}$
Ответ: $10\frac{2}{3}$ед²

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 - 2 и y = 2x + 1, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл.

1. Начнем с поиска точек пересечения двух функций. Для этого приравняем их:

x^2 - 2 = 2x + 1

2. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

x^2 - 2x - 3 = 0

3. Разложим квадратное уравнение на множители:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -1.

4. Теперь построим графики функций y = x^2 - 2 и y = 2x + 1 на одной координатной плоскости:

График функции y = x^2 - 2 - парабола, которая открывается вверх и смещена вниз на 2 единицы:

^ | . | . | . | . | . |. +---------------------------------> -1 0 1 2 3 4 5 6

График функции y = 2x + 1 - прямая, проходящая через точку (0, 1) и с углом наклона 2:

^ | . | : | : | : | : | : | : +---------------------------------> -1 0 1 2 3 4 5 6

5. Найденные точки пересечения x = 3 и x = -1 делят фигуру на три части.

6. Вычислим площадь каждой части отдельно, используя определенный интеграл.

Для части, ограниченной графиками функций y = x^2 - 2 и y = 2x + 1 на интервале [-1, 3], площадь будет равна:

∫(2x + 1 - (x^2 - 2)) dx, где x изменяется от -1 до 3.

Для части, ограниченной графиками функций y = x^2 - 2 и y = 2x + 1 на интервале [-∞, -1], площадь будет равна:

∫((x^2 - 2) - (2x + 1)) dx, где x изменяется от -∞ до -1.

Для части, ограниченной графиками функций y = x^2 - 2 и y = 2x + 1 на интервале [3, ∞], площадь будет равна:

∫((2x + 1) - (x^2 - 2)) dx, где x изменяется от 3 до ∞.

7. Вычислим каждый из указанных интегралов для нахождения площадей каждой части фигуры.