Question

Решить систему неравенств sinx>=1/2, cosx>1/2

Answer 1

Решить надо через тригонометрический круг.

sin x>1/2 значит 30*<=x<=150
cos x>1/2 значит - 60*

Answer 2

Дано систему неравенств:

$$\sin(x) \geq \frac{1}{2}$$ $$\cos(x) \geq \frac{1}{2}$$

Для решения этой системы неравенств, мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

Решение первого неравенства: $\sin(x) \geq \frac{1}{2}$

Для решения этого неравенства, мы можем использовать геометрическую интерпретацию синуса. Значение $\sin(x)$ представляет собой y-координату точки на единичной окружности, соответствующей углу $x$.

Так как мы ищем значения $x$, для которых $\sin(x) \geq \frac{1}{2}$, мы ищем углы, где y-координата точки на единичной окружности больше или равна $\frac{1}{2}$.


На единичной окружности, значения синуса больше или равны $\frac{1}{2}$ соответствуют углам, находящимся в первом и втором квадрантах. В первом квадранте угол $x$ лежит от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, а во втором квадранте угол $x$ лежит от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, решение первого неравенства можно записать как:

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad \pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$$

Решение второго неравенства: $\cos(x) \geq \frac{1}{2}$

Для решения этого неравенства, мы также можем использовать геометрическую интерпретацию косинуса. Значение $\cos(x)$ представляет собой x-координату точки на единичной окружности, соответствующей углу $x$.

Так как мы ищем значения $x$, для которых $\cos(x) \geq \frac{1}{2}$, мы ищем углы, где x-координата точки на единичной окружности больше или равна $\frac{1}{2}$.

На единичной окружности, значения косинуса больше или равны $\frac{1}{2}$ соответствуют углам, находящимся в первом и четвертом квадрантах. В первом квадранте угол $x$ лежит от $0$ до $\frac{\pi}{3}$, а в четвертом квадранте угол $x$ лежит от $\frac{5\pi}{3}$ до $2\pi$.

Таким образом, решение второго неравенства можно записать как:

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{3} \leq x \leq 2\pi$$

Общее решение системы неравенств

Для нахождения общего решения системы неравенств, мы объединяем решения каждого неравенства:

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad \pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$$ $$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{3} \leq x \leq 2\pi$$

Таким образом, общее решение системы неравенств будет:

$$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad \pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{3} \leq x \leq 2\pi$$

Такое решение позволяет нам найти все значения $x$, которые удовлетворяют исходной системе неравенств.