Question

Если в матрице размера (3х5) элементы 2, 3, и 5 столбцов являются линейной комбинацией остальных, то количество базисных строк равно

Answer 1

Количество базисных строк это количество строк, которые НЕ являются комбинацией остальных.
В данном случае их 2.

Answer 2

Чтобы определить количество базисных строк в матрице, нужно рассмотреть её ранг. Ранг матрицы — это максимальное число линейно независимых строк в ней. Базисные строки образуют базис в линейном пространстве строк матрицы.

Матрица размера \(3 \times 5\) с элементами в столбцах 2, 3 и 5, являющимися линейной комбинацией остальных, может выглядеть следующим образом:

\[ \begin{bmatrix} 1 & a & b & c & d \\ 0 & e & f & g & h \\ 0 & i & j & k & l \\ \end{bmatrix} \]

Здесь \(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l\) — это некоторые константы.

Для определения базисных строк нам нужно выразить одну строку через другие, чтобы получить максимальное количество линейно независимых строк. Если все строки можно выразить через другие, то ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк.

Итак, давайте попробуем выразить первую строку через другие:

\[ \begin{bmatrix} 1 & a & b & c & d \\ 0 & e & f & g & h \\ 0 & i & j & k & l \\ \end{bmatrix} \]

Мы видим, что первая строка не является линейной комбинацией остальных строк, так как первый столбец содержит 1, а в остальных строках первого столбца нет. Таким образом, первая строка линейно независима.

Теперь рассмотрим вторую строку:

\[ \begin{bmatrix} 0 & e & f & g & h \\ \end{bmatrix} \]

Вторая строка состоит только из нулей и элементов, содержащихся в столбцах 2, 3 и 5, что означает, что она является линейной комбинацией остальных строк. Следовательно, вторая строка не добавляет независимости.

Теперь рассмотрим третью строку:

\[ \begin{bmatrix} 0 & i & j & k & l \\ \end{bmatrix} \]

Аналогично второй строке, третья строка также состоит только из нулей и элементов, содержащихся в столбцах 2, 3 и 5, и, следовательно, является линейной комбинацией остальных строк.

Таким образом, у нас есть только одна линейно независимая строка (первая строка), и, следовательно, ранг матрицы равен 1. Количество базисных строк равно рангу матрицы, поэтому в данном случае количество базисных строк равно 1.