Question

На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: 1, 2, 3, …, 2018. Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел?

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

Answer 2

Давайте обозначим два удаляемых числа через \( m \) и \( n \) так, что \( m < n \). Тогда сумма всех чисел от 1 до 2018 равна:

\[ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 2018 \]

После стирания чисел \( m \) и \( n \) сумма оставшихся чисел равна:

\[ S' = S - m - n \]

Из условия задачи известно, что:

\[ S' = \frac{1}{2} \cdot (S - m - n) \]

Теперь давайте выразим \( S \) через формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n \cdot (n + 1)}{2} - m - n\right) = \frac{n \cdot (n + 1)}{4} - \frac{m}{2} - \frac{n}{2} \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{n \cdot (n + 1) - 2m - 2n}{4} = \frac{n \cdot (n + 1) - m - n}{2} \]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[ n \cdot (n + 1) - 2m - 2n - 2 \cdot (n \cdot (n + 1) - m - n) = 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ n^2 + n - 2m - 2n - 2n^2 - 2m - 2n = 0 \]

Сгруппируем по переменным:

\[ -3n^2 - 5n - 4m = 0 \]

Теперь давайте рассмотрим все натуральные числа \( n \) от 1 до 2018 и найдем такие пары \( m \) и \( n \), которые удовлетворяют этому уравнению. Так как у нас нет конкретных ограничений для \( m \), то можем просто выбрать \( m \) и решить уравнение для \( n \).

Однако, решение этого уравнения может быть нецелым числом. Поэтому давайте рассмотрим конкретные примеры:

1. \( n = 1 \): Уравнение становится: \( -3 - 5 - 4m = 0 \). Решениями являются \( m = -2 \). Но поскольку \( m \) должно быть натуральным, это решение не подходит.

2. \( n = 2 \): Уравнение становится: \( -12 - 10 - 4m = 0 \). Решениями являются \( m = -5/2 \). Также не подходит.

3. \( n = 3 \): Уравнение становится: \( -27 - 15 - 4m = 0 \). Решениями являются \( m = -21/4 \). Также не подходит.

Продолжая таким образом, можно заметить, что нет целых значений \( m \) и \( n \), удовлетворяющих уравнению. Таким образом, в данной последовательности натуральных чисел нет таких двух чисел \( m \) и \( n \), чтобы после их стирания сумма оставшихся чисел оказалась вдвое меньше суммы неудаленных чисел.