Question

Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции f(x)=0,5x^2-lnx

Answer 1

f’(x)=0

x≠0 – в этой точке функция имеет разрыв

Решение уравнения дает два корня х= -1 и +1

(∞ ,-1)  функция убывает , (1,∞) функция возрастает

Х=1 – точка максимума

Х=-1 – точка минимума

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции f(x) = 0.5x^2 - ln(x), мы будем использовать производную функции. Производная позволяет определить изменение функции на интервалах и точках экстремума.

Давайте сначала найдем производную функции f(x). Производная функции f(x) вычисляется путем дифференцирования каждого члена функции по отдельности.

Производная функции f(x) равна: f'(x) = d/dx(0.5x^2 - ln(x))

Чтобы найти производную функции, мы должны применить правила дифференцирования. Для функции 0.5x^2, мы используем правило степенной функции, а для функции ln(x) мы используем правило логарифма.

Производная функции f(x) равна: f'(x) = 0.5 * 2x - (1/x)

Упрощая это выражение, получаем: f'(x) = x - (1/x)

Теперь мы можем использовать производную функции f(x), чтобы определить промежутки возрастания, убывания и экстремумы.

Промежутки возрастания и убывания

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать знак производной.

Когда производная положительна (f'(x) > 0), функция возрастает. Когда производная отрицательна (f'(x) < 0), функция убывает.

Чтобы найти точки, где производная равна нулю (f'(x) = 0) и точки, где производная не существует, мы должны решить уравнение f'(x) = 0 и проверить точки разрыва.

Итак, давайте решим уравнение f'(x) = 0 и найдем точки разрыва.

x - (1/x) = 0

Умножим обе части уравнения на x:

x^2 - 1 = 0

Решая это уравнение, мы получаем два значения x: x = 1 и x = -1.

Теперь мы знаем, что производная равна нулю в точках x = 1 и x = -1.

Чтобы узнать, где производная не существует, мы должны проверить точки разрыва функции. Функция ln(x) не существует для отрицательных значений x или нуля. Поэтому у нас нет точек разрыва для этой функции.

Итак, промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 0.5x^2 - ln(x) следующие:

- Функция возрастает на интервале (-∞, -1) - Функция убывает на интервале (-1, 0) и (0, 1) - Функция возрастает на интервале (1, +∞)

Экстремумы

Теперь давайте найдем экстремумы функции. Экстремумы - это точки, где функция достигает максимального или минимального значения.

Мы можем найти экстремумы, решив уравнение f'(x) = 0 и проверив значения второй производной.

У нас уже есть точки, где производная равна нулю: x = 1 и x = -1.

Чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом, нам нужно проверить значения второй производной.

Для этого мы вычислим вторую производную функции f(x) и подставим значения x = 1 и x = -1.

f''(x) = d^2/dx^2 (x - (1/x))

f''(x) = 1 + (1/x^2)

Вычислим значения второй производной в точках x = 1 и x = -1:

f''(1) = 1 + (1/1^2) = 1 + 1 = 2 f''(-1) = 1 + (1/(-1)^2) = 1 + 1 = 2

Значения второй производной равны 2 в обоих точках x = 1 и x = -1.

Если вторая производная больше нуля (f''(x) > 0), то это указывает на минимум. Если вторая производная меньше нуля (f''(x) < 0), то это указывает на максимум.

В данном случае, так как значения второй производной равны 2 в обоих точках x = 1 и x = -1, это указывает на локальные минимумы функции.

Итак, экстремумы функции f(x) = 0.5x^2 - ln(x) следующие:

- Локальный минимум в точке (1, f(1)) = (1, -0.5) - Локальный минимум в точке (-1, f(-1)) = (-1, -0.5)

Это подробный анализ промежутков возрастания, убывания и экстремумов для функции f(x) = 0.5x^2 - ln(x).