Question

Сколько вариантов различных флагов из трёх горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы пяти разных цветов. Ответ: 24. Вопрос: как?

Answer 1

Будем считать что есть три части флага, которыми могут стать полосы. Я понятно выразился? Так вот, в первую часть может превратиться одна из 5 полос. В вторую --- одна и оставшихся четырёх полос, а в третью -- одна и трёх оставшихся полос. Дальше перемножаем 5, 4 и 3, и получаем 60. Нам не всё равно в каком порядке стоят полосы, так как например "красный; синий; зелёный;" и "синий; зелёный; красный;" --- это разные флаги. Но если бы нам надо было посчитать сколько разных способов есть  взять тройки полос, нам бы не имело значения в каком порядке они бы лежали, потому что "красный; синий; зелёный;" и "синий; зелёный; красный;"--- это одна тройка. И нам надо бы было поделить 60 (количество разных флагов) на количество разных способов в каком порядке разложить полосы, в нашем случае 6. И получилось бы: 60 / 6 = 10.
Это называется Бином Ньютона.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику.

У нас есть 5 полос разных цветов, и мы хотим выбрать 3 из них для создания флага.

Сначала посчитаем количество способов выбрать 3 полосы из 5. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний.

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где n - общее количество элементов (в нашем случае 5), k - количество элементов, которые мы хотим выбрать (в нашем случае 3).

C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = (5 * 4 * 3!) / (3!2!) = (5 * 4) / 2 = 10

Теперь, когда мы знаем, сколько способов выбрать 3 полосы из 5, мы должны учесть, что полосы могут быть разного цвета.

Для этого мы можем умножить количество способов выбрать 3 полосы из 5 на количество способов переставить их местами.

Так как полосы разных цветов, то каждая перестановка будет давать новый флаг.

Количество способов переставить 3 полосы равно 3!, так как у нас 3 полосы.

Итак, общее количество различных флагов из трех горизонтальных полос разного цвета будет:

10 * 3! = 10 * 6 = 60

Таким образом, ответ на вопрос составляет 60 различных флагов.