Question

Докажите, что геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под острым углом (угол AMB<90°) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB

Answer 1

Впрочем, наверное можно вот как доказать:
1) Отрезок АВ виден под прямым углом из точек, расположенных на самой окружности, т.к. вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.
2) на рисунке видны зеленоватые линии, перпендикулярные к отрезку АВ - очевидно, что если точка М лежит на этих прямых, то треугольник ABM прямоугольный и отрезок AB как катет виден из точки М под острым углом.
3) Если точа М оказывается не между этих прямых, а снаружи, то очевидно, что треугольник ABM тупоугольный и стало быть опять же отрезок AB виден из точки М под острым углом
4) Если точка М оказывается вне окружности и между этих зеленоватых прямых, то отрезок АВ виден под острым углом, так как по свойству угла внешнего к окружности он измеряется полуразностью дуг, высекаемых из окружности. Одна дуга - ВА равна 180 градусов, и её половина равна 90 градусов, а другая дуга - пусть даже самая маленькая всё равно что-то да будет из этих 90 градусов отнимать => отрезок АВ будет виден под острым углом

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Предположим, что точка \( M \) лежит внутри круга с диаметром \( AB \), но \( \angle AMB < 90^\circ \).

Обозначим центр круга как \( O \), а радиус круга — \( r \). Также, обозначим середину отрезка \( AB \) как \( C \), а середину отрезка \( OM \) как \( D \). Тогда у нас есть следующая конфигурация:

1. \( AC = BC = \frac{1}{2} AB \) (по определению середины отрезка). 2. \( OD = \frac{1}{2} OM \) (по определению середины отрезка).

Теперь рассмотрим треугольник \( AOC \) и треугольник \( BOC \). Поскольку \( AC = BC \) и \( \angle ACB = 90^\circ \) (по построению), то эти треугольники равны по стороне и углу. Таким образом, \( AO = BO \) и \( \angle AOC = \angle BOC \).

Рассмотрим также треугольник \( AOD \) и треугольник \( BOD \). Поскольку \( OD = OD \) (общая сторона) и \( \angle AOD = \angle BOD \) (по построению), то эти треугольники равны по стороне и углу.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник \( OMD \). Мы знаем, что \( OM = 2 OD \) (по построению), и угол \( \angle AOM \) равен углу \( \angle BOM \) (по равенству треугольников \( AOD \) и \( BOD \)). Таким образом, треугольник \( OMD \) равнобедренный.

Итак, у нас есть равные отрезки \( AO \) и \( BO \), а также равные отрезки \( OD \) и \( OD \). Таким образом, \( AD = BD \).

Теперь рассмотрим треугольник \( AMD \). Поскольку \( AD = BD \) и \( \angle AMB < 90^\circ \), то \( MD \) будет больше половины \( AM \). Но это невозможно, так как \( MD = \frac{1}{2} OM \), и \( OM \) равен или больше \( AM \).

Следовательно, наше предположение о том, что точка \( M \) лежит внутри круга с диаметром \( AB \), неверно. Таким образом, геометрическое место точек \( M \), из которых отрезок \( AB \) виден под острым углом, является внешностью круга с диаметром \( AB \) без точек прямой \( AB \).