Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции (с применением производной) : y= - x^3+3x^2+4 на отрезке [-3;3]

Answer 1

Y'=-3x²+6x=0
-3x(x-2)=0
x=0,x=2
y(0)=4 (наименьшее)
y(2)=-8+12+4=8
y(-3)=27+27+4=58 (наибольшее)
y(3)=-27+27+4=4 (наименьшее)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = -x^3 + 3x^2 + 4 на отрезке [-3;3], мы можем использовать производную функции. Производная позволяет нам найти точки экстремума функции, где значение производной равно нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную данной функции. Производная функции y = -x^3 + 3x^2 + 4 будет равна:

y' = -3x^2 + 6x

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

-3x^2 + 6x = 0

Вынося общий множитель:

3x(-x + 2) = 0

Таким образом, у нас есть два решения уравнения: x = 0 и x = 2.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли каждая из найденных точек экстремума максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная больше нуля, то это будет точка минимума, а если она меньше нуля, то это будет точка максимума.

Нахождение второй производной функции

Для нахождения второй производной функции, мы продифференцируем первую производную:

y'' = -6x + 6

Проверка типа экстремума

Теперь подставим найденные значения x = 0 и x = 2 во вторую производную, чтобы определить тип каждого экстремума:

Для x = 0: y''(0) = -6(0) + 6 = 6

Так как y''(0) больше нуля, то x = 0 является точкой минимума.

Для x = 2: y''(2) = -6(2) + 6 = -6

Так как y''(2) меньше нуля, то x = 2 является точкой максимума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Теперь, когда мы знаем точки экстремума и их тип, мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;3].

1. Подставим концы отрезка в функцию: Для x = -3: y = -(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 Для x = 3: y = -(3)^3 + 3(3)^2 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 2. Подставим найденные точки экстремума: Для x = 0 (точка минимума): y = -(0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 4 Для x = 2 (точка максимума): y = -(2)^3 + 3(2)^2 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-3;3] равно 8, а наименьшее значение равно 4.