Question

Найдите сумму 75 первых членов последовательности, общий член который определяется формулой: an=3n-19. Доказать, что sin20градусов+sin40градусов=cos10

Answer 1

1)a1=-16

a75=206

$S=\frac{a75+a1}{2}*75=7125$.

2)sin20+sin40=cos10

2sin30cos10=cos10

cos10(2sin30-1)=0

sin30=1/2

1/2=1/2

Answer 2

Для начала рассмотрим данную последовательность, где общий член определяется формулой an = 3n - 19. Чтобы найти сумму первых 75 членов последовательности, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(a1 + an),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии, n - количество членов прогрессии.

В нашем случае, a1 = a1 = 3*1 - 19 = -16 (подставляем n = 1 в формулу общего члена прогрессии).

Также, нам известно, что последний член прогрессии равен an = 3n - 19, где n = 75: a75 = 3*75 - 19 = 226.

Теперь, подставим полученные значения в формулу для суммы арифметической прогрессии: S75 = (75/2)(-16 + 226) = 37.5 * 210 = 7875.

Таким образом, сумма первых 75 членов последовательности равна 7875.

Теперь рассмотрим утверждение sin20 градусов * sin40 градусов = cos10 градусов и попробуем его доказать.

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (формула синуса удвоенного угла).

Для начала, заменим sin20 градусов и sin40 градусов с помощью этой формулы: sin20 градусов = 2sin10 градусов * cos10 градусов, sin40 градусов = 2sin20 градусов * cos20 градусов.

Теперь мы можем заменить sin20 градусов и sin40 градусов в исходном утверждении: 2sin10 градусов * cos10 градусов * 2sin20 градусов * cos20 градусов = cos10 градусов.

Упростим это выражение: 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов = cos10 градусов.

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Подставим x = 10 градусов в эту формулу: cos(20 градусов) = cos^2(10 градусов) - sin^2(10 градусов).

Также, мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора).

Подставим это в уравнение для cos(20 градусов): cos(20 градусов) = 1 - sin^2(10 градусов).

Теперь вернемся к исходному утверждению и подставим полученное значение для cos(20 градусов): 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов = 1 - sin^2(10 градусов).

Мы видим, что sin^2(10 градусов) появляется с обеих сторон уравнения и может быть сокращено: 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов = 1 - sin^2(10 градусов), 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов + sin^2(10 градусов) = 1.

Теперь, если мы заметим, что sin10 градусов * cos10 градусов = 1/2sin20 градусов, мы можем упростить уравнение еще больше: 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов + (1/2sin20 градусов)^2 = 1.

Мы также знаем, что sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 (формула синуса удвоенного угла). Подставим это в уравнение: 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов + (1/2sin20 градусов)^2 = 1, 4sin10 градусов * sin20 градусов * cos10 градусов * cos20 градусов + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1.

Теперь, заменим sin20 градусов и cos20 градусов с помощью формулы синуса угла удвоенного угла: sin20 градусов = 2sin10 градусов * cos10 градусов, cos20 градусов = cos^2(10 градусов) - sin^2(10 градусов).

Подставим это в уравнение: 4sin10 градусов * (2sin10 градусов * cos10 градусов) * cos10 градусов * (cos^2(10 градусов) - sin^2(10 градусов)) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1.

Теперь упростим это выражение: 4 * 2 * sin^2(10 градусов) * cos^3(10 градусов) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1.

Теперь, заменим sin^2(x) с помощью тождества Пифагора: 4 * 2 * (1 - cos^2(10 градусов)) * cos^3(10 градусов) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1.

Упростим это выражение еще больше: 8 * (1 - cos^2(10 градусов)) * cos^3(10 градусов) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1, 8cos^3(10 градусов) - 8cos^5(10 градусов) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1.

Теперь, упростим выражение (1 - cos(40 градусов))/8: 8cos^3(10 градусов) - 8cos^5(10 градусов) + (1 - cos(40 градусов))/8 = 1, 8cos^3(10 градусов) - 8cos^5(10 градусов) + 1/8 - cos(40 градусов)/8 = 1, 8cos^3(10 градусов) - 8cos^5(10 градусов) + 1/8 - cos(40 градусов)/8 - 1 = 0, 8cos^3(10 градусов) - 8cos^5(10 градусов) - cos(40 градусов)/8 - 7/8 = 0.

Теперь, если мы заметим, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем заменить cos^2(10 градусов