Question

Чему равна площадь под кривой y=x^2 на интервале (0;1)

Answer 1

$\int\limits_{0}^1 x^2dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|\limits_0^1 = 1/3$

Answer 2

Площадь под кривой \(y = x^2\) на интервале \((0;1)\) это интеграл от \(0\) до \(1\) функции \(x^2\) по переменной \(x\). Формула для вычисления площади под кривой в пределах заданного интервала выглядит так:

\[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

где \(f(x)\) - это функция, \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования. Для кривой \(y = x^2\) на интервале \((0;1)\) выглядит так:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{1} x^2 \, dx \]

Давай проинтегрируем эту функцию:

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Теперь найдем значение этого выражения на интервале от \(0\) до \(1\):

\[ \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \]

Таким образом, площадь под кривой \(y = x^2\) на интервале \((0;1)\) равна \(\frac{1}{3}\) квадратных единиц.