Question

Доказать тождество 1+tga/1+ctga=tga

Answer 1

=((cosa+sina)/cosa)*(sina/(sina+cosa))=sina/cosa=tga

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

\[ \frac{1 + \tan(\theta)}{1 - \cot(\theta)} = \tan(\theta) \]

Для начала, давайте выразим \(\tan(\theta)\) и \(\cot(\theta)\) через базовые тригонометрические функции:

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \] \[ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \]

Теперь, подставим эти значения в левую часть тождества:

\[ \text{Левая часть} = \frac{1 + \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}}{1 - \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sin(\theta)\cos(\theta)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ \text{Левая часть} = \frac{\sin(\theta)\cos(\theta) + \sin(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\theta) - \cos(\theta)} \]

Сгруппируем похожие члены:

\[ \text{Левая часть} = \frac{\sin(\theta)(\cos(\theta) + 1)}{\cos(\theta)(\sin(\theta) - 1)} \]

Теперь упростим дробь, деля числитель и знаменатель на \(\cos(\theta)\):

\[ \text{Левая часть} = \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta) - 1} \]

Домножим числитель и знаменатель на -1, чтобы изменить знак дроби:

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\sin(\theta)}{1 - \sin(\theta)} \]

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos(\theta)\):

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}}{\frac{1}{\cos(\theta)} - \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}} \]

Используем определение тангенса:

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\tan(\theta)}{\cot(\theta) - 1} \]

Теперь подставим определение котангенса:

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\tan(\theta)}{\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} - 1} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sin(\theta)\):

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\sin(\theta)}{\cos(\theta) - \sin(\theta)} \]

Теперь используем разность тригонометрических функций:

\[ \text{Левая часть} = \frac{-\sin(\theta)}{-(\sin(\theta))} \]

И, наконец, сократим минусы:

\[ \text{Левая часть} = \sin(\theta) \]

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна \(\sin(\theta)\). Теперь сравним это с правой частью:

\[ \text{Правая часть} = \tan(\theta) \]

Так как \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\), мы видим, что правая часть равна \(\sin(\theta)\).

Таким образом, мы доказали, что левая и правая части тождества совпадают:

\[ \frac{1 + \tan(\theta)}{1 - \cot(\theta)} = \tan(\theta) \]