Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У=6х-х2 и осью абсцисс

Answer 1

Находим определенный интеграл на промежутке [0;6]

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс, мы можем использовать метод интегрирования. В данном случае, фигура ограничена графиком функции y = 6x - x^2 и осью абсцисс.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, мы должны найти точки пересечения графика функции y = 6x - x^2 с осью абсцисс. Для этого, мы должны решить уравнение 6x - x^2 = 0.

Как видно, это квадратное уравнение, и мы можем решить его, используя методы квадратного уравнения. Найдем корни этого уравнения:

6x - x^2 = 0

x(6 - x) = 0

x = 0 или x = 6

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью абсцисс - это точки (0, 0) и (6, 0).

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу функции y = 6x - x^2 в интервале от 0 до 6, так как фигура ограничена графиком функции и осью абсцисс.

S = ∫[0,6] (6x - x^2) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем применить правило интегрирования для полинома:

S = [3x^2 - (1/3)x^3] [0,6]

S = [(3 * 6^2 - (1/3) * 6^3) - (3 * 0^2 - (1/3) * 0^3)]

S = [(3 * 36 - (1/3) * 216) - 0]

S = (108 - 72)

S = 36

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 6x - x^2 и осью абсцисс, равна 36 квадратным единицам.