Question

∫((x^3+1)/(x^2-x))dx найти интеграл

Answer 1

$\int { \frac{x^3+1}{x^2-x} } \, dx = \int { (x+1+\frac{x+1}{x^2-x} )} \, dx =\int { (x+1+\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x} )} \, dx=\\ = \frac{x^2}{2} +x+2ln|x-1| - ln|x| + C$

Answer 2

Конечно! Давайте рассмотрим интеграл ∫((x^3+1)/(x^2-x))dx и найдем его значение.

Разложение на простые дроби

Для начала, нам нужно разложить функцию ((x^3+1)/(x^2-x)) на простые дроби. Для этого выполним деление многочленов.

Выражение ((x^3+1)/(x^2-x)) можно переписать в виде:

((x^3+1)/(x^2-x)) = (x^3+1)/(x(x-1))

Разложение на простые дроби

Теперь давайте найдем разложение на простые дроби. Для этого представим исходное выражение в виде суммы двух дробей:

((x^3+1)/(x(x-1))) = A/x + B/(x-1)

Нахождение коэффициентов A и B

Чтобы найти коэффициенты A и B, нужно приравнять числитель исходного выражения к сумме числителей разложения на простые дроби:

x^3 + 1 = A(x-1) + Bx

Раскроем скобки:

x^3 + 1 = Ax - A + Bx

Сгруппируем одинаковые степени x:

x^3 + 1 = (A + B)x - A

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0 (коэффициент при x^3) -A = 1 (коэффициент при x^0)

Из первого уравнения получаем B = -A, а из второго уравнения A = -1. Тогда B = 1.

Таким образом, разложение на простые дроби имеет вид:

((x^3+1)/(x(x-1))) = -1/x + 1/(x-1)

Интегрирование

Теперь, когда мы разложили исходную функцию на простые дроби, мы можем интегрировать каждую дробь отдельно. Применим правила интегрирования:

∫(-1/x)dx = -ln|x| ∫(1/(x-1))dx = ln|x-1|

Итоговый результат

Итак, после интегрирования каждой дроби, получаем:

∫((x^3+1)/(x^2-x))dx = -ln|x| + ln|x-1| + C

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл ∫((x^3+1)/(x^2-x))dx равен -ln|x| + ln|x-1| + C.

Answer 3

Когда мы решаем интегралы, наша цель - найти функцию, производная которой равна данному выражению. Давайте рассмотрим интеграл ∫((x^3+1)/(x^2-x))dx более подробно.

Разложение на простые дроби

Для начала, давайте разложим дробь ((x^3+1)/(x^2-x)) на простые дроби.

Мы можем разложить числитель на сумму двух слагаемых: x^3 и 1. Числитель не может быть разложен на простые дроби, так как степень x в числителе больше степени x в знаменателе.

А теперь рассмотрим знаменатель, x^2-x. Это квадратный трехчлен, который можно факторизовать следующим образом: x(x-1). Таким образом, мы можем разложить знаменатель на две простые дроби: A/x + B/(x-1).

Нахождение неизвестных коэффициентов

Теперь нам нужно найти неизвестные коэффициенты A и B. Для этого мы можем привести дробь к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

Умножим обе части разложения на знаменатель (x^2-x), получим: (x^3+1) = A(x-1) + Bx.

Раскроем скобки и соберем слагаемые: x^3 + 1 = Ax - A + Bx.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: - Для степени x^3: коэффициент при x^3 в левой части равен 1, а в правой части равен 0 (так как нет слагаемых с x^3). Это дает нам уравнение 1 = 0, которое не имеет решений. - Для степени x^2: коэффициент при x^2 в левой части равен 0 (так как нет слагаемых с x^2), а в правой части равен A + B. Это дает нам уравнение 0 = A + B. - Для степени x: коэффициент при x в левой части равен 0 (так как нет слагаемых с x), а в правой части равен A - A + B. Это дает нам уравнение 0 = B.

Таким образом, мы находим, что B = 0, а A + B = 0, что даёт A = 0.

Разложение на простые дроби

Итак, мы нашли, что A = 0 и B = 0. Теперь мы можем разложить исходную дробь на простые дроби следующим образом: ((x^3+1)/(x^2-x)) = 0/x + 0/(x-1).

Интегрирование

Теперь, когда мы разложили исходную дробь на простые дроби, мы можем интегрировать каждую дробь отдельно.

∫((x^3+1)/(x^2-x))dx = ∫(0/x)dx + ∫(0/(x-1))dx.

Интеграл ∫(0/x)dx равен 0, так как это константа.

Интеграл ∫(0/(x-1))dx также равен 0, так как это тоже константа.

Таким образом, итоговый интеграл ∫((x^3+1)/(x^2-x))dx равен 0.

Ответ

Итак, интеграл ∫((x^3+1)/(x^2-x))dx равен 0.