Question

Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=5/(x^2+4) в точке с абсциссой Xo=1.Ответ записать в виде y=kx+bЕсли не сложно распишите пожалуйста

Answer 1

Значение производной данной функции в точке х = 1 равно:
-10*1/(1² + 4)² = - 2/5

Значение функции в точке х = 1 равно:
5/(1² + 4) = 1

Уравнение касательной к графику функции в данной точке:
у = 1 - 2/5(х - 1) = - 2/5х + 1 2/5

Ответ: у = - 2/5х + 1 2/5

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = \frac{5}{x^2 + 4}\) в точке с абсциссой \(x_0 = 1\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(f(x)\). 2. Подставить \(x = x_0\) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной. 3. Подставить \(x = x_0\) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в данной точке, которое будет одновременно значением ординаты точки касания касательной.

Итак, начнем с первого шага.

Шаг 1: Найти производную функции \(f(x)\)

\[f(x) = \frac{5}{x^2 + 4}\]

\[f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{x^2 + 4}\right)\]

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного:

\[f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2}\]

\[f'(x) = \frac{-10x}{(x^2 + 4)^2}\]

Шаг 2: Найти угловой коэффициент касательной \(k\)

Теперь подставим \(x = x_0 = 1\) в выражение для производной:

\[k = f'(1) = \frac{-10 \cdot 1}{(1^2 + 4)^2} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}\]

Шаг 3: Найти значение функции в точке \(x_0\)

Теперь подставим \(x = x_0 = 1\) в исходную функцию \(f(x)\) для нахождения значения ординаты точки касания касательной:

\[y_0 = f(1) = \frac{5}{1^2 + 4} = \frac{5}{5} = 1\]

Уравнение касательной

Так как уравнение касательной имеет вид \(y = kx + b\), и у нас есть угловой коэффициент \(k = -\frac{2}{5}\) и координаты точки касания \((1, 1)\), можем использовать эти значения для нахождения свободного члена \(b\):

\[1 = -\frac{2}{5} \cdot 1 + b\]

\[b = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((1, 1)\) имеет вид:

\[y = -\frac{2}{5}x + \frac{7}{5}\]