Question

4^2x+2*4^x-24>0 буду очень благодарен

Answer 1

4^(2x)+2·4^x-24>0.
Сделаем замену 4^x=k, 4^(2x)=k
Решаем квадратное уравнение 

Answer 2

Давайте решим неравенство \(4^{2x} + 2 \cdot 4^x - 24 > 0\). Для этого преобразуем его в квадратное уравнение относительно переменной \(4^x\).

Пусть \(y = 4^x\). Тогда у нас получится следующее:

\[y^2 + 2y - 24 > 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы хотим найти значения \(y\), при которых неравенство выполняется. Решение можно найти, факторизовав квадратное уравнение:

\[(y - 4)(y + 6) > 0\]

Таким образом, у нас два корня: \(y = 4\) и \(y = -6\). Теперь рассмотрим интервалы между корнями и за пределами:

1. Если \(y < -6\), оба множителя отрицательны, и произведение положительно. 2. Если \(-6 < y < 4\), первый множитель отрицателен, а второй - положителен, поэтому произведение отрицательно. 3. Если \(y > 4\), оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, неравенство \(y^2 + 2y - 24 > 0\) выполняется для \(y < -6\) или \(y > 4\).

Теперь вернемся к переменной \(x\), помня, что \(y = 4^x\). Если \(4^x < -6\) или \(4^x > 4\), то \(x\) принимает значения в интервалах, где исходное неравенство \(4^{2x} + 2 \cdot 4^x - 24 > 0\) выполняется.

Давайте рассмотрим каждый интервал:

1. Если \(4^x < -6\), то \(x\) принимает значения в интервале \((-\infty, \log_4{(-6)})\). 2. Если \(4^x > 4\), то \(x\) принимает значения в интервале \((\log_4{(4)}, +\infty)\).

Таким образом, решение неравенства \(4^{2x} + 2 \cdot 4^x - 24 > 0\) - это объединение этих двух интервалов:

\[x \in (-\infty, \log_4{(-6)}) \cup (\log_4{(4)}, +\infty)\]

Однако, стоит учесть, что логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах, поэтому первый интервал не имеет решений в действительных числах. Таким образом, окончательное решение:

\[x \in (\log_4{(4)}, +\infty)\]