Question

Помогите ,пожалуйста , найти критические точки и экстремумы функции. f(x)=4x^2-6x

Answer 1

Берем производную:
f(x)'=4(2x)-6=8x-6;
приравнивем к 0, ищем критичекие точки:
8x-6=0; 8x=6; x=6/8=0,75;
y=-2,25; т.к область определения D(f(x))=R, то эта точка и будет экстремиумом:
(0,75;-2,25)
(точка является и экстремиумом и критической точкой)
Ответ: (0,75;-2,25)

Answer 2

Для нахождения критических точек и экстремумов функции f(x) = 4x^2 - 6x, мы должны сначала найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого используем правило дифференцирования степенной функции и линейной функции. Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 8x - 6

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки, приравняем производную функции f'(x) к нулю и решим уравнение:

8x - 6 = 0

Решим это уравнение:

8x = 6

x = 6/8

x = 3/4

Таким образом, получаем одну критическую точку x = 3/4.

Определение типа экстремумов

Чтобы определить тип экстремумов в критической точке, нам нужно проанализировать знак второй производной функции f''(x) в этой точке.

Нахождение второй производной функции

Чтобы найти вторую производную функции f''(x), мы дифференцируем производную f'(x):

f''(x) = 8

Анализ знака второй производной

Поскольку вторая производная f''(x) равна положительному числу 8, это означает, что функция является выпуклой в области x = 3/4.

Определение экстремумов

Так как функция является выпуклой в критической точке x = 3/4, это означает, что у нас есть локальный минимум. Значение функции в этой точке будет определяться подстановкой значения x = 3/4 в исходную функцию f(x):

f(3/4) = 4(3/4)^2 - 6(3/4)

f(3/4) = 9/4 - 18/4

f(3/4) = -9/4

Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке x = 3/4 с значением f(x) равным -9/4.

Вывод

Таким образом, функция f(x) = 4x^2 - 6x имеет одну критическую точку x = 3/4 и локальный минимум в этой точке с значением f(x) равным -9/4.