Question

Найти полный дифференциал функций z=In(x²+y²)

Answer 1

Dz=$\frac{2x}{ x^{2} + y^{2} }dx+ \frac{2y}{ x^{2} + y^{2} } dy.$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции z = ln(x² + y²) мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Сначала найдем частные производные функции z по переменным x и y:

∂z/∂x = 2x/(x² + y²) ∂z/∂y = 2y/(x² + y²)

Теперь найдем полный дифференциал функции z:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Подставим значения частных производных:

dz = (2x/(x² + y²))dx + (2y/(x² + y²))dy

Таким образом, полный дифференциал функции z = ln(x² + y²) равен:

dz = (2x/(x² + y²))dx + (2y/(x² + y²))dy

Answer 3

Для нахождения полного дифференциала функции z = ln(x² + y²), мы должны выразить z через x и y, а затем найти его дифференциал. Давайте начнем с выражения функции z.

Функция z = ln(x² + y²) представляет собой натуральный логарифм суммы квадратов x и y. Для удобства, можно записать функцию следующим образом:

z = ln(r²),

где r² = x² + y² - это расстояние от начала координат до точки (x, y). Теперь мы можем применить правило для вычисления дифференциала логарифма функции одной переменной.

Правило гласит: если f(t) - функция одной переменной, тогда полный дифференциал df можно найти следующим образом:

df = f'(t) * dt,

где f'(t) - производная функции f(t), а dt - дифференциал переменной t.

В нашем случае, функция f(t) = ln(t), а переменная t = r². Чтобы найти полный дифференциал dz функции z, нам нужно вычислить производную ln(r²) по r² и умножить ее на дифференциал r². Давайте продолжим.

Вычисление производной ln(r²) по r²

Для вычисления производной ln(r²) по r², мы можем использовать формулу для производной натурального логарифма:

d/dx ln(x) = 1/x.

Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем:

d/d(r²) ln(r²) = 1/(r²).

Теперь мы можем перейти к вычислению полного дифференциала dz.

Вычисление полного дифференциала dz

Используя правило для вычисления полного дифференциала, мы можем записать:

dz = (1/(r²)) * dr².

Обратите внимание, что переменная r² является функцией переменных x и y, поэтому мы должны выразить dr² через dx и dy, чтобы получить полный дифференциал dz.

Выражение dr² через dx и dy

Мы знаем, что r² = x² + y². Если мы возьмем дифференциал от обеих частей этого выражения, получим:

d(r²) = d(x² + y²).

Теперь давайте применим правило дифференцирования для суммы функций и раскроем дифференциалы:

2r * dr = 2x * dx + 2y * dy.

Теперь мы можем выразить dr через dx и dy, деля обе части на 2r:

dr = (x * dx + y * dy) / r.

Полный д