Question

Квадрате 10 на 10 закрашено несколько клеток в каждой клетке есть либо 3 либо 4 закрашены в клетке в каждом столбце есть либо 1 либо 7 закрашенных клеток Какое наименьшее количество клеток могло быть закрашено (а) 30( Б) 34 (в) 38( г )40( Д) 42

Answer 1

Оценка по столбцам: минимально возможное количество закрашенных клеток - 1·10=10.
Оценка по строкам: минимально возможное количество закрашенных клеток - 3·10=30.
Если разместить в каждую строку по 3 закрашенных клетки, то общее их количество не удастся разделить на столбцы по 1 или 7 клеток, так как система:
$\left\{\begin{array}{l} m+n=10 \\ m+7n=30 \end{array}$
не имеет решения в натуральных числах (первое уравнение - общее число столбцов, второе - количество закрашенных клеток).
Если постепенно увеличивать общее количество закрашенных клеток, то окажется, что при их количестве, равном 34, система
$\left\{\begin{array}{l} m+n=10 \\ m+7n=34 \end{array}$
даст решение (4; 6). Значит, в 4 столбцах будет закрашено 7 клеток, а в 6 столбцах - одна. Дополнительно введенные 4 клетки равномерно распределим между этими строками, пользуясь условием, что в строке может быть 4 закрашенных клетки.
Пример расстановки на картинке.
Ответ: 34

Answer 2

Давайте рассмотрим условия задачи:

1. Квадрат 10 на 10 клеток. 2. В каждой клетке либо 3, либо 4 закрашенных. 3. В каждом столбце либо 1, либо 7 закрашенных клеток.

Для решения задачи, нужно попытаться найти наименьшее количество клеток, которые могли бы быть закрашены с учетом этих условий.

Давайте начнем с того, что если бы в каждой клетке было бы по 3 закрашенных, то общее количество закрашенных клеток составило бы \(10 \times 10 \times 3 = 300\) клеток. Однако, это не подходит, так как нам нужно найти количество клеток, удовлетворяющее обоим условиям задачи.

Теперь подумаем о том, как мы можем учесть оба условия (3 или 4 закрашенных в каждой клетке и 1 или 7 в каждом столбце) при нахождении минимального числа закрашенных клеток.

Если мы предположим, что в каждой клетке 4 закрашенных, то общее количество закрашенных клеток составит \(10 \times 10 \times 4 = 400\) клеток. Однако, это противоречит условию, что в каждой клетке либо 3, либо 4 закрашенных.

Попробуем сделать так, чтобы число закрашенных клеток было меньше 400 и в то же время удовлетворяло условиям задачи. Давайте посмотрим на следующий способ:

Возможное решение: Предположим, что 3 клетки из каждых 4 в каждой строке будут закрашены, а в одной клетке - 4. Это удовлетворит условию "в каждой клетке либо 3, либо 4 закрашенных". Тогда общее количество закрашенных клеток будет \(10 \times 3 + 10 \times 1 = 30 + 10 = 40\) клеток.

Теперь проверим условие "в каждом столбце либо 1, либо 7 закрашенных клеток". Мы уже имеем 40 закрашенных клеток, и каждая строка имеет только 3 закрашенных клетки, так что в каждом столбце должно быть еще минимум 7 - 3 = 4 закрашенных клеток. Это удовлетворяет условию.

Таким образом, наименьшее возможное количество закрашенных клеток, которое удовлетворяет оба условия задачи, составляет 40 клеток.

Ответ: (г) 40 клеток.