Question

В арифметической прогрессии а4=-42 и a10=-28 . Найдите количество неотрицательных членов прогрессии каждый из которых меньше 27

Answer 1

Определяем d и a₁
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_4&=&a_1+3d \\ a_{10}&=&a_1+9d \end{matrix}\right. \quad \left\{\begin{matrix} a_1+3d&=&-42 \\ a_1+9d&=&-28 \end{matrix}\right. \\ 3d-9d=-42-(-28); \ -6d=-14 \to d= \frac{7}{3} \\ a_1+3d=-42 \to a_1=-42-3d=-42-3\cdot\frac{7}{3}=-49$
Теперь учитываем ограничения
$\displaystyle a_n=a_1+d(n-1)=-49+ \frac{7}{3}(n-1) ; \\ \\ \left\{\begin{matrix} \displaystyle -49+ \frac{7}{3}(n-1)& \geq&0 \\ \\ \displaystyle -49+ \frac{7}{3}(n-1)&\ \textless \ &27\end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{7}{3}(n-1)& \geq&49 \\ \\ \displaystyle \frac{7}{3}(n-1)&\ \textless \ &76\end{matrix}\right. \\ \\ \\ \left\{\begin{matrix} 7(n-1)& \geq&49\cdot3 \\ {7}(n-1)&\ \textless \ &76\cdot 3\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} n-1& \geq&21 \\ n-1&\ \textless \ &\displaystyle \frac{76\cdot3}{7}\end{matrix} \right. \\ \left\{\begin{matrix} n& \geq&22 \\ n&\ \textless \ &\displaystyle \frac{76\cdot3}{7}+1 \end{matrix} \right. \\ \\ 22 \leq n\ \textless \ \displaystyle 33 \frac{4}{7}$
Решая в целых числах, получаем 22≤n≤33.
Таких n будет 33-22+1=12.

Ответ: 12

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно найти количество неотрицательных членов арифметической прогрессии, каждый из которых меньше 27. У нас есть два известных члена прогрессии: a4 = -42 и a10 = -28.

Чтобы найти общую формулу арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для нахождения n-го члена прогрессии:

an = a1 + (n - 1) * d,

где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

Нам нужно найти количество членов прогрессии, каждый из которых меньше 27, поэтому мы можем написать неравенство: an < 27.

Подставим известные значения в формулу:

a4 = a1 + (4 - 1) * d = a1 + 3d = -42, a10 = a1 + (10 - 1) * d = a1 + 9d = -28.

Теперь у нас есть система уравнений:

a1 + 3d = -42, a1 + 9d = -28.

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем вычесть первое уравнение из второго:

(a1 + 9d) - (a1 + 3d) = -28 - (-42), 6d = 14, d = 14 / 6 = 7 / 3.

Теперь, когда мы знаем значение d, мы можем подставить его в одно из изначальных уравнений, чтобы найти a1:

a1 + 3 * (7 / 3) = -42, a1 + 7 = -42, a1 = -42 - 7 = -49.

Таким образом, первый член прогрессии a1 равен -49, а разность d равна 7 / 3.

Чтобы найти количество неотрицательных членов прогрессии, каждый из которых меньше 27, мы можем вычислить номер последнего члена прогрессии. Для этого мы можем использовать формулу:

an < 27, a1 + (n - 1) * (7 / 3) < 27.

Подставим известные значения:

-49 + (n - 1) * (7 / 3) < 27.

Теперь решим это неравенство:

-49 + (7 / 3) * n - (7 / 3) < 27, (7 / 3) * n < 27 + 49 - (7 / 3), (7 / 3) * n < 169 / 3, n < (169 / 3) * (3 / 7), n < 13.

Таким образом, номер последнего члена прогрессии должен быть меньше 13. Однако, так как мы ищем количество неотрицательных членов, мы можем округлить это значение вниз до ближайшего целого числа, которое равно 12.

Итак, количество неотрицательных членов прогрессии, каждый из которых меньше 27, составляет 12.