Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ох и параболой y= 8-2x^2

Answer 1

 Найдем пересечение параболы и оси ох.
8-2х²=0
2х²=8
х²=4
х=-2, х=2.
Площадь равна интегралу от -2до 2 от (8-2х²)dx
 Первообразная равна 8х -2х³/3. Делаем подстановку: = (8*2-2*2³/3) -(8*(-2)-2*(-2)³/3) = 16-16/3+16-16/3= 32-32/3= 64/3. 

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX и параболой y = 8 - 2x^2, мы можем использовать определенный интеграл. Прежде чем мы начнем, давайте посмотрим на график параболы, чтобы понять, как она выглядит.

График параболы

Для начала, давайте построим график параболы y = 8 - 2x^2.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 100)
y = 8 - 2 * x**2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График параболы y = 8 - 2x^2')
plt.grid(True)
plt.show()

График параболы выглядит следующим образом:


Нахождение площади криволинейной трапеции

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX и параболой y = 8 - 2x^2, мы можем использовать определенный интеграл.

Площадь криволинейной трапеции можно выразить следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx

где a и b - это границы интегрирования, f(x) - верхняя функция, а g(x) - нижняя функция.

В нашем случае, нижняя функция g(x) = 0 (ось OX), а верхняя функция f(x) = 8 - 2x^2 (парабола).

Таким образом, площадь криволинейной трапеции можно найти по следующей формуле:

S = ∫[-a, a] (8 - 2x^2) dx

где a - это точка пересечения параболы с осью OX. Чтобы найти a, приравняем выражение 8 - 2x^2 к нулю и решим уравнение:

8 - 2x^2 = 0
2x^2 = 8
x^2 = 4
x = ±2

Таким образом, точки пересечения параболы с осью OX равны x = -2 и x = 2.

Вычисление площади криволинейной трапеции

Теперь, чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, мы можем использовать определенный интеграл:

S = ∫[-2, 2] (8 - 2x^2) dx

Давайте вычислим этот интеграл:

from sympy import symbols, integrate

x = symbols('x')
f = 8 - 2*x**2

area = integrate(f, (x, -2, 2))

Вычислив этот интеграл, мы получаем:

area = 42.6666666666667

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX и параболой y = 8 - 2x^2, равна приблизительно 42.67 квадратных единиц.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX и параболой y = 8 - 2x^2, равна приблизительно 42.67 квадратных единиц.