Question

Найти производную функции. y= lntg (x/2) y= (lncosx/sinx)

Answer 1

$1)\; \; \; y=ln\, tg \frac{x}{2} \\\\y'= \frac{1}{tg\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{cos^2 \frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2sin \frac{x}{2}\cdot cos \frac{x}{2} } = \frac{1}{sinx} \\\\\\2)\; \; y= \frac{ln\, cosx}{sinx}\\\\y'= \frac{ \frac{1}{cosx}\cdot (-sinx)\cdot sinx-ln\, cosx\, \cdot cosx}{sin^2x}=-\frac{sin^2x+cos^2x\, \cdot ln\, cosx}{cosx\, \cdot sin^2x}$

Answer 2

Чтобы найти производные данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования.

1. \( y = \ln{\left(\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)} \)

Сначала воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Если у нас есть функция вида \( \ln{u} \), где \( u \) - функция от \( x \), то её производная будет равна \( \frac{1}{u} \cdot u' \).

Обозначим \( u = \tan{\left(\frac{x}{2}\right)} \), тогда \( y = \ln{u} \).

Производная \( u = \tan{\left(\frac{x}{2}\right)} \) по \( x \) равна \( u' = \frac{1}{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2} \), применяя правило дифференцирования для тангенса.

Теперь, используя цепное правило, получаем:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}} \cdot \frac{1}{\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sin{\left(\frac{x}{2}\right)\cos{\left(\frac{x}{2}\right)}}} \]

2. \( y = \frac{\ln{\cos{x}}}{\sin{x}} \)

Для этой функции применим правило дифференцирования частного функций: \( \frac{f}{g}' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \).

Обозначим \( f = \ln{\cos{x}} \) и \( g = \sin{x} \).

\( f' = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} \) (производная \( \ln{\cos{x}} \))

\( g' = \cos{x} \) (производная \( \sin{x} \))

Теперь применим формулу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} = \frac{\frac{-\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \sin{x} - \ln{\cos{x}} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin^2{x} - \ln{\cos{x}} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}} \]

Это является производной функции \( y = \frac{\ln{\cos{x}}}{\sin{x}} \).

Таким образом, мы нашли производные обеих заданных функций.