Question

Решить дифференциальное уравнение 4y"+12y'+9y=0 ; y(0)=1; y'(0)=2

Answer 1

*************************************

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны найти функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению 4y" + 12y' + 9y = 0, а также начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 2.

Шаг 1: Нахождение характеристического уравнения

Для начала, мы должны найти характеристическое уравнение, связанное с данным дифференциальным уравнением. Характеристическое уравнение получается путем замены y(x) на exp(rx), где r - неизвестная переменная.

Для данного уравнения, характеристическое уравнение будет иметь вид: 4r^2 + 12r + 9 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае a = 4, b = 12 и c = 9.

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Решим характеристическое уравнение, используя квадратное уравнение:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Подставим значения a = 4, b = 12 и c = 9 в формулу:

r = (-12 ± √(12^2 - 4 * 4 * 9)) / (2 * 4) = (-12 ± √(144 - 144)) / 8 = (-12 ± √0) / 8

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень с кратностью два:

r1 = r2 = -12 / 8 = -3 / 2

Шаг 3: Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = c1 * exp(r1 * x) + c2 * x * exp(r2 * x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены с помощью начальных условий.

Шаг 4: Определение конкретного решения

Используя начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 2, мы можем найти конкретное решение.

Подставим x = 0 и получим первое уравнение: y(0) = c1 * exp(r1 * 0) + c2 * 0 * exp(r2 * 0) = c1

Используя начальное условие y(0) = 1, мы можем записать: c1 = 1

Теперь продолжим с начальным условием y'(0) = 2. Возьмем производную от общего решения:

y'(x) = c1 * r1 * exp(r1 * x) + c2 * (exp(r2 * x) + x * r2 * exp(r2 * x))

Подставим x = 0 и получим второе уравнение: y'(0) = c1 * r1 * exp(r1 * 0) + c2 * (exp(r2 * 0) + 0 * r2 * exp(r2 * 0)) = c1 * r1 + c2

Используя начальное условие y'(0) = 2, мы можем записать: c1 * r1 + c2 = 2

Подставим c1 = 1 и r1 = -3/2: (1) * (-3/2) + c2 = 2 -3/2 + c2 = 2 c2 = 2 + 3/2 c2 = 7/2

Таким образом, конкретное решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = 1 * exp(-3/2 * x) + (7/2) * x * exp(-3/2 * x)

Это конкретное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению 4y" + 12y' + 9y = 0, а также начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 2.