Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ (КРАТКО, МОЖНО БЕЗ РИСУНКА) Основания равнобочной трапеции равны 3 и 9. Прямые, соединяющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках M и N. Найдите длину отрезка MN

Answer 1

Треугольники  $BAM ; LMD$   подобны , почему?  потому  что углы     $\angle BMA = \angle LMD$   как вертикальные , остальные как на крест лежащие  ,   так как трапеция равнобедренная , отсюда из симметрий , следует что $MN || AB$ , откуда 
за счет пару подобных треугольников   $(BAM;LMD)\\ \\ (LNM ; LAB)$ 
 $\frac{LM}{AM} = \frac{ \frac{9}{2}}{3} \\ \frac{LM}{AM} = \frac{3}{2}\\ AL = LM+AM = \frac{3AM}{2}+AM = \frac{5AM}{2} \\ \frac{LM}{AL} = \frac{MN}{AB} \\\ \frac{ \frac{3}{2}*AM}{ \frac{5AM}{2} } = \frac{MN}{3}\\ \frac{3}{5} = \frac{MN}{3}\\ MN=\frac{9}{5}$  
    
       

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства равнобедренной трапеции и применить теорему о пересекающихся хордах.

Свойства равнобедренной трапеции:

- Основания равны по длине: AB = CD. - Диагонали равны по длине: AC = BD.

Теорема о пересекающихся хордах:

Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть M и N - точки пересечения прямых, соединяющих середину большего основания с концами меньшего основания, с диагоналями трапеции.

По свойствам равнобедренной трапеции, мы знаем, что основания равны: AB = CD = 3 и 9.

Решение:

Давайте обозначим точки A, B, C, D, M и N следующим образом:

A - левый конец меньшего основания (AB), B - правый конец меньшего основания (BC), C - левый конец большего основания (CD), D - правый конец большего основания (DA), M - точка пересечения прямой, соединяющей середину большего основания с точкой B, N - точка пересечения прямой, соединяющей середину большего основания с точкой A.

Так как M и N лежат на диагоналях AC и BD соответственно, то AM и DN - хорды, пересекающиеся внутри трапеции.

Используя теорему о пересекающихся хордах, мы можем записать следующее равенство:

AM * DN = BM * CM

Обозначим x = AM = DN (так как диагонали равнобедренной трапеции равны), тогда BM = 9 - x и CM = 3 - x.

Подставим значения в уравнение:

x * x = (9 - x) * (3 - x)

Раскроем скобки:

x^2 = (9 - x)(3 - x)

Распределение:

x^2 = 27 - 9x - 3x + x^2

Упростим:

0 = 27 - 12x

Перенесем все в одну сторону:

12x = 27

Разделим обе стороны на 12:

x = 27 / 12

Упростим дробь:

x = 9 / 4

Таким образом, длина отрезка MN равна 9/4 или 2.25.

Ответ: Длина отрезка MN равна 2.25 (или 9/4).