Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=x+2

Answer 1

Решение во вложении-------------

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = x + 2, необходимо найти точки пересечения этих двух функций.

Сначала найдем точки пересечения, приравняв уравнения функций: x^2 = x + 2

Перенесем все в одну сторону: x^2 - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного корня или факторизации. Факторизуя это уравнение, получим: (x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, точки пересечения функций находятся при x = 2 и x = -1.

Теперь найдем значения y для этих точек, подставив их в уравнения функций: Для x = 2: y = 2^2 = 4 Для x = -1: y = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3

Итак, получили две точки пересечения: (2, 4) и (-1, 3).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо вычислить интеграл от y = x^2 до y = x + 2 по оси x на интервале между x = -1 и x = 2.

S = ∫(x + 2 - x^2) dx, где x изменяется от -1 до 2.

Вычислим этот интеграл:

S = ∫(x + 2 - x^2) dx = ∫(2 - x^2) dx + ∫x dx

Интеграл ∫(2 - x^2) dx можно вычислить, используя формулу интеграла степенной функции. Результат будет:

∫(2 - x^2) dx = 2x - (x^3)/3

Интеграл ∫x dx равен:

∫x dx = (x^2)/2

Теперь вычислим значения интегралов на интервале от x = -1 до x = 2:

S = [2x - (x^3)/3 + (x^2)/2] от -1 до 2

Подставим значения верхнего и нижнего пределов:

S = [2(2) - (2^3)/3 + (2^2)/2] - [2(-1) - ((-1)^3)/3 + ((-1)^2)/2]

S = [4 - 8/3 + 4/2] - [-2 + 1/3 + 1/2]

S = [4 - 8/3 + 2] - [-2 + 1/3 + 1/2]

S = 6 - (-13/6 + 3/6 + 3/6)

S = 6 - (-7/6)

S = 6 + 7/6

S = 43/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = x + 2, равна 43/6 или приближенно 7.17 единицы площади.