Question

вычислить неопределенный интеграл очень прошуdx/((sin^3)*x*(cos^5)*x)

Answer 1

Делаем замену tgx = t

d(tgx) = dx/Cos²x

 

Answer 2

Чтобы вычислить данный неопределенный интеграл, можно воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим подробный процесс решения.

Метод подстановки:

1. Первым шагом в методе подстановки является выбор подходящей замены переменных, которая поможет упростить интеграл. В данном случае, мы можем выбрать следующую замену: * Положим u = sin(x), тогда du = cos(x)dx. * Также мы можем использовать тригонометрическое тождество: 1 - cos^2(x) = sin^2(x).

2. Подставим эти замены в исходный интеграл: ∫ dx/((sin^3(x))*(cos^5(x))) = ∫ du/((u^3)*(1 - u^2)^2).

3. После замены переменных, мы получили новый интеграл в переменной u. Теперь нам нужно выразить dx через du, чтобы полностью избавиться от x. Для этого воспользуемся первой заменой: du = cos(x)dx. Подставим это в выражение и получим: dx = du / cos(x).

4. Далее, заменим dx в новом интеграле: ∫ (du / (u^3 * (1 - u^2)^2)) * (1 / cos(x)).

5. Теперь мы можем решить новый интеграл в переменной u. Разделим интеграл на две части: ∫ (du / (u^3 * (1 - u^2)^2)) = ∫ (du / u^3) * (1 / (1 - u^2)^2).

6. Решим первую часть интеграла: ∫ (du / u^3) = -1 / (2u^2).

7. Решим вторую часть интеграла: ∫ (1 / (1 - u^2)^2) = 1/4 * (2u / (1 - u^2)) + 1/4 * ln(|(1 + u) / (1 - u)|) + C.

8. Соберем все вместе и подставим обратные замены: ∫ dx/((sin^3)*x*(cos^5)*x) = -1 / (2 * sin^2(x)) * (2 * sin(x) / (1 - sin^2(x))) + 1/4 * ln(|(1 + sin(x)) / (1 - sin(x))|) + C.

9. Избавимся от неопределенности в знаменателе: ∫ dx/((sin^3)*x*(cos^5)*x) = -1 / (2 * sin^2(x) * (1 - sin^2(x))) + 1/4 * ln(|(1 + sin(x)) / (1 - sin(x))|) + C.

Таким образом, неопределенный интеграл данной функции равен: ∫ dx/((sin^3)*x*(cos^5)*x) = -1 / (2 * sin^2(x) * (1 - sin^2(x))) + 1/4 * ln(|(1 + sin(x)) / (1 - sin(x))|) + C, где C - произвольная постоянная.