Question

Пару соседних цифр в многозначном числе назовем хорошей, если при их перестановке число увеличивается. Какое наибольшее количество цифр может быть в многозначном числе, если известно, что все пары соседних цифр в нём, кроме 5, хорошие?

Answer 1

Очевидно, что нужно выстроить число с наибольшим количеством хороших пар, плохих пар по условию 5.

Самая длинная последовательность цифр, образующих хорошие пары, - 10, это 01...89.

Нехорошими будут являться только пары ..90..

Число не может начинаться с 0, поэтому в первой последовательности 9 цифр. Всего последовательностей цифр, образующих хорошие пары - 5, столько же, сколько и нехороших пар.

Итого 9+5*10 = 59

Answer 2

Пусть многозначное число имеет n цифр. Тогда количество пар соседних цифр в нем будет n-1.

Из условия задачи известно, что все пары соседних цифр, кроме 5, являются хорошими. Значит, в каждой из этих пар должна быть цифра 5.

Поскольку пар соседних цифр n-1, то количество цифр 5 в числе также равно n-1.

Таким образом, общее количество цифр в числе будет равно количеству пар соседних цифр плюс количество цифр 5: n-1 + (n-1) = 2n-2.

Наибольшее значение 2n-2 достигается при наибольшем возможном значении n, то есть n = 9.

Таким образом, наибольшее количество цифр, которое может быть в многозначном числе, состоящем из хороших пар соседних цифр, равно 2*9-2 = 16.