Question

Решите уравнение sin2x-2√3 cos(x+7π/6)=3cosx [-3π/2;0]

Answer 1

2sin x*cos x - 2√3*(cos x*cos(7П/6) - sin x*sin(7П/6)) = 3cos x

2sin x*cos x - 2√3*(cos x*(-√3/2) - sin x*(-1/2)) = 3cos x

2sin x*cos x + 2√3*√3/2*cos x - 2√3/2*sin x = 3cos x

2√3*√3/2*cos x = 3cos x, их можно сократить.

2sin x*cos x - √3*sin x = 0

sin x*(2cos x - √3) = 0

1) sin x = 0; x = П*k, k € Z. На отрезке [-3П/2; 0] будут корни x1 = -П; x2 = 0

2) cos x = √3/2; x = +-П/6 + 2П*n, n € Z. На отрезке [-3П/2; 0] будет x3 = -П/6

Ответ: x1 = -П; x2 = 0; x3 = -П/6

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением:

\[ \sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) = 3\cos(x), \quad x \in \left[-\frac{3\pi}{2}, 0\right] \]

1. Преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[ \sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) - 3\cos(x) = 0 \]

2. Преобразуем \(\sin(2x)\) через удвоенный угол:

\[ 2\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) - 3\cos(x) = 0 \]

3. Раскроем \(\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right)\) используя формулу сложения для косинуса:

\[ 2\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\left(\cos(x)\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) - \sin(x)\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) - 3\cos(x) = 0 \]

4. Упростим выражение:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sqrt{3}\cos(x)\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 2\sqrt{3}\sin(x)\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 3\cos(x) = 0 \]

5. Выразим \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\) и \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\):

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sqrt{3}\cos(x)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\sqrt{3}\sin(x)\left(\frac{1}{2}\right) - 3\cos(x) = 0 \]

6. Упростим дальше:

\[ 2\sin(x)\cos(x) - 3\cos(x) - 3\cos(x) + 3\sin(x) = 0 \]

7. Сгруппируем похожие члены:

\[ \cos(x)(2\sin(x) - 6) + 3\sin(x) = 0 \]

8. Вынесем общий множитель:

\[ \cos(x)(2\sin(x) - 6) + 3\sin(x) = \cos(x)(2\sin(x) - 6) + 3\sin(x) = 0 \]

9. Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить уравнение для каждого из них:

\[ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

\[ 2\sin(x) - 6 = 0 \implies \sin(x) = 3 \implies \text{решений нет в } [-\frac{3\pi}{2}, 0] \]

10. Итак, уравнение \(\sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos\left(x + \frac{7\pi}{6}\right) = 3\cos(x)\) имеет единственное решение \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) в интервале \([-3\pi/2, 0]\).