Question

Решительно уравнение sin x - sin^2x = cos^2x

Answer 1

sinx-sin^2x=cos^2x

sinx-sin^2x=1-sin^2x

sinx-sin^2x-1+sin^2x =0

sinx-1=0

sinx=1

x=п/2 + 2пn

Ответ: п/2+2пn

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \( \sin(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) \).

Исходное уравнение: \[ \sin(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) \]

Сначала преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), поэтому можно выразить \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\): \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

Подставим это в исходное уравнение: \[ \sin(x) - \sin^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]

Теперь приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения на одну сторону: \[ \sin(x) + \sin^2(x) - 1 + \sin^2(x) = 0 \]

Объединим квадраты: \[ \sin(x) + 2\sin^2(x) - 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\): \[ 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Обозначим \(\sin(x)\) за \(y\): \[ 2y^2 + y - 1 = 0 \]

Используем квадратное уравнение для нахождения корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -1\). Подставим значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \]

\[ y = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

Итак, у нас два возможных значения \(\sin(x)\): 1. \( y = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2} \) 2. \( y = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \)

Теперь найдем соответствующие значения \(x\) с использованием обратных тригонометрических функций. Для \(y = \frac{1}{2}\), имеем \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число. Для \(y = -1\), имеем \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\).

Итак, решения уравнения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \]

где \(k\) - целое число.