Question

Sin²x-(√3+1)sinxcosx+√3cos²x=0 помогите решить кто сможет, не выходит че-то

Answer 1

$sin^2x-( \sqrt{3} +1)sinx*cosx+ \sqrt{3} cos^2x=0$
разделим на $cos^2x \neq 0$
$cosx \neq 0$
$x \neq \frac{ \pi }{2} + \pi k,$ k∈Z

$tg^2x-( \sqrt{3} +1)tgx+ \sqrt{3} =0$
замена $tgx=t$
$t^2-( \sqrt{3} +1)t+ \sqrt{3} =0$
$D=( \sqrt{3} +1)^2-4*1* \sqrt{3} =3+1+2 \sqrt{3} -4 \sqrt{3} =4-2 \sqrt{3} =$$( \sqrt{3}-1 )^2$
$t_1= \sqrt{3}$
$t_2=1$
$tgx= \sqrt{3}$   или  $tgx=1$
$x= \frac{ \pi }{3} + \pi k,$ k∈Z  или $x= \frac{ \pi }{4} + \pi n,$  n∈Z

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и посмотрим, как его можно решить.

Уравнение: \(\sin^2x - (\sqrt{3} + 1)\sin{x}\cos{x} + \sqrt{3}\cos^2x = 0\).

Для удобства решения можно воспользоваться формулой двойного угла: \[ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}. \]

Теперь подставим \(\sin{2x}\) в уравнение: \[ \sin^2x - (\sqrt{3} + 1)\frac{\sin{2x}}{2} + \sqrt{3}\cos^2x = 0. \]

Далее можно использовать тригонометрическую подстановку для \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\): \[ \sin^2x = 1 - \cos^2x \] и \[ \cos^2x = 1 - \sin^2x. \]

Подставим эти выражения в уравнение: \[ (1 - \cos^2x) - (\sqrt{3} + 1)\frac{\sin{2x}}{2} + \sqrt{3}(1 - \sin^2x) = 0. \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены: \[ 1 - \cos^2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x} - \frac{\sin{2x}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3}\sin^2x = 0. \]

Теперь объединим члены с \(\cos^2x\) и \(\sin^2x\): \[ 2 - \cos^2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x} - \frac{\sin{2x}}{2} = 0. \]

Далее воспользуемся формулой для \(\sin{2x}\) и преобразим уравнение: \[ 2 - \cos^2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sin{x}\cos{x} - \frac{1}{2}\cdot 2\sin{x}\cos{x} = 0. \]

Упростим: \[ 2 - \cos^2x - \sqrt{3}\sin{x}\cos{x} - \sin{x}\cos{x} = 0. \]

Теперь объединим члены с \(\cos^2x\) и приведем подобные члены: \[ 2 - \cos^2x - \sqrt{3}\sin{x}\cos{x} - \sin{x}\cos{x} = 0. \]

Теперь можно решить уравнение относительно \(\cos{x}\). После нахождения \(\cos{x}\), вы можете найти значения \(\sin{x}\) с использованием уравнения \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\).

Надеюсь, это поможет вам решить уравнение!