Question

Подробное решение Около окружности с центром в точке O описана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC=4 и AD= 16 . Через центр O и одну из вершин трапеции проведена прямая, отрезающая от трапеции треугольник. Найти отношение площади треугольника к площади трапеции (два случая).

Answer 1

Случай 1. Биссектриса проведена из вершины тупого угла трапеции.
У трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Боковая сторона для равнобокой трапеции АВСД  равна:
АВ = (4+16)/2 = 20/2 = 10.
Высота Н трапеции равна:
Н = √(10²-(16-4)/2)²) = √(100-36) = √64 = 8.
Площадь S трапеции равна:
S = ((4+16)/2)*8 = 10*8 = 80.
Так как центр О окружности находится на середине высоты, проходящей через точку О, то точка Е находится на основании АД на расстоянии от высоты, равном половине верхнего основания.
Площадь треугольника АВЕ, отсекаемого от трапеции биссектрисой ВЕ, равна (1/2)*8*((16/2)+(4/2)) = 4*10 = 40.
Отношение равно 40/80 = 1/2.

Answer 2

Пусть точка пересечения прямой, проходящей через центр O и вершину A трапеции, с основанием BC обозначена как E.

Так как трапеция ABCD равнобокая, то у нее параллельны основания BC и AD, и углы при вершинах A и B равны. Также, так как ABCD описана около окружности с центром O, то радиус окружности будет равен половине диагонали трапеции. Поэтому, диагональ трапеции AC равна 2R, где R - радиус окружности