Question

Найдите общий вид первообразной для функции f(x)=4sin2x-1/2cos x/2+1

Answer 1

F (x) = -2cos2x - sin(x/2) + x + C

Answer 2

Чтобы найти первообразную для данной функции \(f(x) = 4\sin^2(x) - \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 1\), мы будем интегрировать каждый член по отдельности.

1. \(\int 4\sin^2(x) \,dx\):

Используем тригонометрическую идентичность \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\):

\[ \begin{align*} \int 4\sin^2(x) \,dx &= \int 4 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,dx \\ &= 2 \int (1 - \cos(2x)) \,dx \\ &= 2 \left(x - \frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C_1, \end{align*} \]

где \(C_1\) - произвольная постоянная интегрирования.

2. \(\int -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \,dx\):

Произведем замену переменной, чтобы упростить интеграл:

Пусть \(u = \frac{x}{2}\), тогда \(du = \frac{1}{2}dx\), и интеграл преобразуется следующим образом:

\[ \begin{align*} \int -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) \,dx &= -\int \cos(u) \,du \\ &= -\sin(u) + C_2, \end{align*} \]

где \(C_2\) - еще одна произвольная постоянная.

3. \(\int 1 \,dx\):

Интегрирование константы просто дает саму переменную:

\[ \int 1 \,dx = x + C_3, \]

где \(C_3\) - еще одна произвольная постоянная.

Теперь соберем все вместе:

\[ \begin{align*} \int f(x) \,dx &= 2 \left(x - \frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right) + x + C \\ &= 2x - \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C, \end{align*} \]

где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) - общая произвольная постоянная интегрирования.