Question

Укажите все целые решения неравенства: log4(x²+2x-8)<2

Answer 1

X^внизу написан ответ


Бббббббббббббббббббббб

Answer 2

Давайте решим неравенство \(\log_4(x^2 + 2x - 8) < 2\). Чтобы решить его, давайте использовать свойства логарифмов.

Неравенство имеет вид \(\log_4(x^2 + 2x - 8) < 2\). Мы можем преобразовать его в эквивалентную форму, используя определение логарифма: \(4^2 = x^2 + 2x - 8\).

Решим уравнение:

\[4^2 = x^2 + 2x - 8\]

\[16 = x^2 + 2x - 8\]

\[x^2 + 2x - 8 - 16 = 0\]

\[x^2 + 2x - 24 = 0\]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем сначала попытаться разложить его на множители:

\[(x - 4)(x + 6) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x = 4\) и \(x = -6\).

Теперь мы видим, что неравенство становится \(\log_4(x^2 + 2x - 8) < 2\) эквивалентным неравенствам:

\[x^2 + 2x - 8 > 0\]

Теперь рассмотрим знак выражения \(x^2 + 2x - 8\):

\[(x - 4)(x + 6) > 0\]

Теперь разберемся с знаками. В промежутках между корнями (\(-\infty, -6\), \(-6, 4\), \(4, +\infty\)), выражение имеет одинаковый знак. Рассмотрим значения в этих интервалах:

1. При \(x < -6\) оба множителя отрицательны, произведение положительно. 2. При \(-6 < x < 4\) первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. 3. При \(x > 4\) оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства \(\log_4(x^2 + 2x - 8) < 2\) — это интервалы, где выражение \(x^2 + 2x - 8\) положительно:

\[x < -6 \quad \text{или} \quad 4 < x < +\infty\]

Таким образом, целые решения данного неравенства - это все целые числа \(x\), удовлетворяющие условиям \(x < -6\) или \(4 < x < +\infty\).