Question

Вычислить косинус угла между векторами a=3i+j-k и b= 2i+2j+k

Answer 1

A = {3; 1; -1}, |a| = √11
b = {2; 2; 1}, |b| = 3

cosφ = |3×2 + 1×2 + (-1)×1|/(3√11) = 7/(3√11) = (7√11)/33

Ответ: (7√11)/33

Answer 2

Для вычисления косинуса угла между векторами, нужно использовать формулу: $$\\cos \\phi=\\frac { (\\bar {a}, \\bar {b})} {|\\bar {a}| \\cdot|\\bar {b}|}$$ где $(\\bar {a}, \\bar {b})$ - скалярное произведение векторов, а $|\\bar {a}|$ и $|\\bar {b}|$ - их длины. Для векторов, заданных в пространстве, скалярное произведение равно сумме произведений их координат по каждой оси, а длина равна квадратному корню из суммы квадратов их координат. То есть, если $\\bar {a}=\\left (a_ {x} ; a_ {y} ; a_ {z}\\right)$ и $\\bar {b}=\\left (b_ {x} ; b_ {y} ; b_ {z}\\right)$, то $$ (\\bar {a}, \\bar {b})=a_ {x} \\cdot b_ {x}+a_ {y} \\cdot b_ {y}+a_ {z} \\cdot b_ {z}$$ и $$|\\bar {a}|=\\sqrt {a_ {x}^ {2}+a_ {y}^ {2}+a_ {z}^ {2}}$$ Подставляя заданные векторы $\\bar {a}=3i+j-k$ и $\\bar {b}=2i+2j+k$, получим: $$ (\\bar {a}, \\bar {b})=3 \\cdot 2+1 \\cdot 2+ (-1) \\cdot 1=6+2-1=7$$ и $$|\\bar {a}|=\\sqrt {3^ {2}+1^ {2}+ (-1)^ {2}}=\\sqrt {9+1+1}=\\sqrt {11}$$ $$|\\bar {b}|=\\sqrt {2^ {2}+2^ {2}+1^ {2}}=\\sqrt {4+4+1}=\\sqrt {9}=3$$ Тогда косинус угла между векторами равен: $$\\cos \\phi=\\frac { (\\bar {a}, \\bar {b})} {|\\bar {a}| \\cdot|\\bar {b}|}=\\frac {7} {\\sqrt {11} \\cdot 3}=\\frac {7 \\sqrt {11}} {33}$$ Ответ: $\\cos \\phi=\\frac {7 \\sqrt {11}} {33}$