Question

Sin(2x+3π/2)-sin(π/2-2x)=-√2

Answer 1

-cos2x - cos2x = -√2
-2cos2x = -√2
cos2x = √2/2
2x = +-arccos(√2/2) + 2πn, n ∈ Z
2x = +-π/4 + 2πn, n ∈ Z
x = +-π/8 + πn, n ∈ Z

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением:

\[ \sin(2x + \frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = -\sqrt{2} \]

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулой разности для синуса:

\[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]

Таким образом, применим эту формулу для второго слагаемого:

\[ \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin \frac{\pi}{2} \cos 2x - \cos \frac{\pi}{2} \sin 2x = \cos 2x \]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[ \sin(2x + \frac{3\pi}{2}) - \cos 2x = -\sqrt{2} \]

Для удобства преобразуем синус и косинус в одну функцию. Используем тот факт, что \( \sin(\theta + \pi) = -\sin \theta \):

\[ -\sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \cos 2x = -\sqrt{2} \]

Теперь объединим два слагаемых в одно, воспользовавшись свойствами синуса и косинуса:

\[ -\sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \cos 2x = -\sqrt{2} \] \[ -\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) - \cos 2x = -\sqrt{2} \]

Теперь используем формулу суммы для косинуса:

\[ -\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) - \cos 2x = -\sqrt{2} \] \[ -\sin\frac{\pi}{2} \sin(2x) - \cos\frac{\pi}{2} \cos(2x) = -\sqrt{2} \] \[ -\cos(2x) = -\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть простое уравнение для косинуса:

\[ \cos(2x) = \sqrt{2} \]

Решим это уравнение. Возможные значения \(2x\) будут:

\[ 2x = \pm \frac{\pi}{4} + k \pi \]

где \( k \) - целое число. Теперь найдем значения \(x\):

\[ x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{k \pi}{2} \]

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k \pi}{2} \] или \( x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k \pi}{2} \), где \( k \) - целое число.