Question

Сколько окружностей можно провести через 10 точек, из которых никакие четыре не лежат на одной окружности и никакие три не лежат на одной прямой, если каждая окружность проходит через три точки?

Answer 1

$C_{10} ^{3} = \frac{10!}{(10-3)!3!} = \frac{10*9*8*7!}{3*2*7!} =5*3*8=120$

Ответ:можно провести 120 окружностей.

Answer 2

Эта задача является классической геометрической задачей, и называется "задачей Дезарга". Для понимания ответа полезно знать, что в геометрии проективных пространств существует теорема Дезарга, которая утверждает, что если шесть точек на проективной прямой соединены отрезками, и три пересекающихся пары этих отрезков лежат на трех параллельных прямых, то три точки пересекаются в одной точке.

Теперь вернемся к задаче о кругах. У нас есть 10 точек, и каждая окружность проходит через 3 точки. Если мы рассмотрим любые 6 точек из 10, то по теореме Дезарга мы можем провести одну окружность, которая проходит через эти 6 точек. Таким образом, у нас есть \( C(10,6) \) способов выбрать 6 точек из 10.

Однако, мы считали каждую окружность несколько раз (каждую по \( C(6,3) \) раз, так как она содержит 3 точки). Таким образом, общее количество окружностей можно найти по формуле:

\[ \frac{{C(10,6)}}{{C(6,3)}} \]

Вычислив это, мы получим ответ на ваш вопрос.