Question

Существуют ли действительные числа a, b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x + a| + |x + y + b| + |y + c| > |x| + |x + y| + |y| ?

Answer 1

Решение

Предположим, что такие числа a , b и cсуществуют.  Выберем x>0 и y>0 такие, что x+a>=0 , x+y+b>=0 , y+c>=0 . Тогда разность между левой и правой частями равнаa+b+c . А если взять x<0 и y<0 такие, чтоx+a<0 , x+y+b<0 , y+c<0 , то эта разность будет равна -a-b-c . Таким образом, с одной стороны, a+b+c>0 , с другойa+b+c<0 . Противоречие. 

Ответ

Нет.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство:

\[ |x + a| \cdot |x + y + b| \cdot |y + c| > |x| \cdot |x + y| \cdot |y| \]

Мы можем рассмотреть различные случаи в зависимости от знаков переменных \( x \) и \( y \):

1. Пусть \( x \geq 0 \) и \( y \geq 0 \): - В таком случае, неравенство становится: \[ (x + a)(x + y + b)(y + c) > x(x + y)y \] - Попробуем упростить это: \[ (x^2 + (a + y)x + ay + bx + by + ab)(y + c) > x^2(y + y^2) \] \[ x^2y + x^2c + (a + y)x^2 + (a + y)xc + ay^2 + ayb + bxy + by^2 + aby + (a + y)ab > x^2y + x^2y^2 \] \[ x^2c + (a + y)xc + ayb + bxy + by^2 + aby + (a + y)ab > x^2y^2 \] - Мы видим, что левая сторона содержит члены второй степени по \( x \) и \( y \), а правая сторона - только члены второй степени по \( y \). Таким образом, для \( x \geq 0 \) и \( y \geq 0 \) неравенство не может быть выполнено.

2. Пусть \( x \leq 0 \) и \( y \leq 0 \): - Аналогичным образом приходим к выводу, что для \( x \leq 0 \) и \( y \leq 0 \) неравенство не может быть выполнено.

3. Рассмотрим случай \( x \geq 0 \) и \( y \leq 0 \) или \( x \leq 0 \) и \( y \geq 0 \): - Для \( x \geq 0 \) и \( y \leq 0 \): \[ (x + a)(x - y + b)(-y + c) > x(x - y)(-y) \] - Подставим значения и попробуем упростить: \[ (x^2 + (a - y)x - ay + bx - by + ab)(-y + c) > x^2(y - y^2) \] \[ x^2y - x^2c + (a - y)x^2 - (a - y)xc - ay^2 + ayb - bxy + by^2 - aby + (a - y)ab > -x^2y + x^2y^2 \] \[ -x^2c - (a - y)xc - ayb + bxy - by^2 + aby - (a - y)ab > -x^2y^2 \] - Опять же, левая сторона содержит члены второй степени по \( x \) и \( y \), а правая сторона - только члены второй степени по \( y \). Таким образом, для \( x \geq 0 \) и \( y \leq 0 \) неравенство не может быть выполнено.

- Аналогично можно показать, что для \( x \leq 0 \) и \( y \geq 0 \) неравенство также не выполняется.

Таким образом, не существует действительных чисел \( a, b \) и \( c \), для которых данное неравенство выполняется при всех действительных \( x \) и \( y \).