Question

Как находится супремум у функций? И как найти супремум например у такой вот ф-ии

Answer 1

Хм, если не ошибаюсь, это недостижимый максимум.
когда например область значений функции в круглых скобках получается.
интуитивно в примере кажется супремум это 1.

Answer 2

Супремум (или точная верхняя грань) множества действительных чисел является наименьшей верхней гранью этого множества. Если у нас есть функция \( f: A \rightarrow \mathbb{R} \), где \( A \) — непустое множество вещественных чисел, то супремум функции можно найти аналогично супремуму множества.

Формальное определение супремума функции \( f \) на множестве \( A \) выглядит следующим образом:

\[ \sup_{x \in A} f(x) \]

То есть, супремум функции — это наименьшая верхняя грань значений функции на множестве \( A \).

Процесс нахождения супремума функции включает в себя следующие шаги:

1. Определение множества значений функции: Определите множество \( B \), состоящее из всех значений функции \( f(x) \), где \( x \) принадлежит множеству \( A \).

\[ B = \{ f(x) \mid x \in A \} \]

2. Нахождение супремума множества значений: Найдите супремум множества \( B \), то есть наименьшую верхнюю грань этого множества. Это может потребовать использования техник анализа, в зависимости от характера функции.

3. Определение супремума функции: Супремум функции равен найденному супремуму множества значений.

\[ \sup_{x \in A} f(x) = \sup(B) \]

Пример:

Пусть у нас есть функция \( f(x) = \frac{1}{x} \) на множестве \( A = (0, \infty) \). Мы хотим найти супремум этой функции.

1. Множество значений функции: \( B = \{f(x) \mid x \in (0, \infty)\} = (0, \infty) \) (потому что \( f(x) \) всегда положительно при \( x > 0 \)).

2. Супремум множества значений: \( \sup(B) = +\infty \) (так как \( B \) не ограничено сверху).

3. Супремум функции: \( \sup_{x > 0} \frac{1}{x} = +\infty \).

Таким образом, супремум функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) на множестве \( (0, \infty) \) равен \( +\infty \).