Question

Помогите пожалуйста решить уравнение (x/(x+1))^2+((x)/(x-1))^2=90.

Answer 1

$\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2=90 \\ \frac{x^2}{(x+1)^2}+\frac{x^2}{(x-1)^2}=90 \\ \frac{x^2(x-1)^2+x^2(x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=90 \\ \frac{x^2((x-1)^2+(x+1)^2)}{(x-1)^2(x+1)^2}=90 \\ \frac{x^2((x^2-2x+1)+(x^2+2x+1))}{(x-1)^2(x+1)^2}=90 \\ \frac{x^2(2x^2+2)}{(x-1)^2(x+1)^2}=90 |(x-1)^2(x+1)^2; x \neq \pm1 \\ x^2(2x^2+2)=90(x-1)^2(x+1)^2 \\ x^2(2x^2+2)=90(x^2-1)^2 \\ 2x^2(x^2+1)=90(x^2-1)^2 ;$$-88x^4+182x^2-90=0 \\ -2(44x^4-91x^2+45)=0 | :-2 \\ 44x^4-91x^2+45=0 ; t=x^2 \\ 44t^2-91t+45=0 \\ D = 91^2-44*4*45=361 \\ t_{1,2} = \frac{91\pm19}{2} \\ t_1 = \frac{110}{88} \\ t_2 = \frac{72}{88} \\ x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{110}{88}} \\ x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{72}{88}}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся его решить.

У нас дано уравнение:

\[\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = 90\]

Для удобства решения, давайте умножим обе стороны уравнения на \((x+1)^2(x-1)^2\), чтобы избавиться от знаменателей. После умножения получится следующее:

\[x^2(x-1)^2 + x^2(x+1)^2 = 90(x+1)^2(x-1)^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[x^2(x^2 - 2x + 1) + x^2(x^2 + 2x + 1) = 90(x^2 - 1)\]

\[x^4 - 2x^3 + x^2 + x^4 + 2x^3 + x^2 = 90x^2 - 90\]

\[2x^4 + 2x^2 - 90x^2 + 90 = 0\]

\[2x^4 - 88x^2 + 90 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x^2\):

\[2(x^2)^2 - 88x^2 + 90 = 0\]

Подставим \(y = x^2\):

\[2y^2 - 88y + 90 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем поделить обе стороны на 2 для упрощения:

\[y^2 - 44y + 45 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с использованием факторизации или формулы квадратного уравнения:

\[(y - 5)(y - 39) = 0\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(y\):

1. \(y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5\) 2. \(y - 39 = 0 \Rightarrow y = 39\)

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\). Поскольку \(y = x^2\), у нас есть два случая:

1. \(x^2 = 5\): из этого следует, что \(x = \pm\sqrt{5}\) 2. \(x^2 = 39\): из этого следует, что \(x = \pm\sqrt{39}\)

Таким образом, уравнение имеет четыре решения:

1. \(x = \sqrt{5}\) 2. \(x = -\sqrt{5}\) 3. \(x = \sqrt{39}\) 4. \(x = -\sqrt{39}\)

Проверим эти значения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они удовлетворяют уравнению.