Question

Розвяжіть нерівність : х^2-1/х^2+1 більше або равно 1

Answer 1

y'=(2x(x^2+1)-2x(x^2-1))/(x^2+1)^2=4x/(x^2+1)^2

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю нерівність разом. Нерівність, яку ви навели, має вигляд:

x^2 - 1/x^2 + 1 ≥ 1

Щоб розв'язати цю нерівність, спочатку перенесемо всі члени на одну сторону:

x^2 - 1/x^2 + 1 - 1 ≥ 1 - 1

Отримаємо:

x^2 - 1/x^2 ≥ 0

Тепер давайте спробуємо спростити ліву частину нерівності. Зверніть увагу, що ми можемо помножити обидві частини на x^2, оскільки x ≠ 0 (бо в іншому випадку ділення на x^2 стало би неможливим). Виконавши це множення, отримаємо:

x^4 - 1 ≥ 0

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння, використовуючи методи алгебраїчного аналізу. Зауважте, що x^4 - 1 може бути розкладеним як різницю квадратів:

(x^2 - 1)(x^2 + 1) ≥ 0

Тепер ми можемо розглянути два випадки: коли (x^2 - 1) ≥ 0 та коли (x^2 + 1) ≥ 0.

Випадок 1: (x^2 - 1) ≥ 0

Якщо (x^2 - 1) ≥ 0, то ми маємо два підвипадки:

1.1) Якщо x^2 - 1 > 0, тобто x^2 > 1. Це означає, що x > 1 або x < -1.

1.2) Якщо x^2 - 1 = 0, тобто x^2 = 1. В цьому випадку ми маємо два рівняння: x = 1 та x = -1.

Випадок 2: (x^2 + 1) ≥ 0

Якщо (x^2 + 1) ≥ 0, то незалежно від значення x, це нерівність завжди виконується.

Отже, з'єднуємо обидва випадки:

1) x > 1 або x < -1 2) x = 1 або x = -1

Комбінуючи ці два випадки, ми отримуємо наступний відповідь:

Розв'язок нерівності: x > 1 або x < -1 або x = 1 або x = -1