Question

(x-3)^2(x-7)<0 метод интервала

Answer 1

$(x-3)^2(x-7)\ \textless \ 0$

___-___(3)___-___(7)____+____

Ответ: x∈(-∞;3)U(3;7)

Answer 2

Чтобы решить неравенство \((x-3)^2(x-7) < 0\), мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем значения \(x\), для которых левая сторона равна нулю и точки разрыва функции.

1. Находим нули функции:

\((x-3)^2(x-7) = 0\)

Это уравнение имеет корни \(x = 3\) (кратность 2) и \(x = 7\).

2. Находим точки разрыва:

Так как у нас есть квадратный корень \((x-7)\), мы должны обратить внимание на случай, когда значение под корнем становится отрицательным. Точка разрыва будет \(x = 7\).

3. Строим интервалы:

Разбиваем весь вещественный интервал на подынтервалы между найденными корнями и точкой разрыва. Интервалы обозначим буквами A, B, C:

- Интервал A: \((-\infty, 3)\) - Интервал B: \((3, 7)\) - Интервал C: \((7, +\infty)\)

4. Выбираем тестовую точку:

В каждом из интервалов выбираем тестовую точку и подставляем ее в исходное неравенство. Возьмем, например, центр каждого интервала:

- Для интервала A (\((-\infty, 3)\)) выбираем \(x = 0\). - Для интервала B (\((3, 7)\)) выбираем \(x = 5\). - Для интервала C (\((7, +\infty)\)) выбираем \(x = 8\).

5. Проверяем знак в каждом интервале:

- Для интервала A: \((0-3)^2(0-7) = 9 \cdot (-7) < 0\) - знак отрицательный. - Для интервала B: \((5-3)^2(5-7) = 4 \cdot (-2) < 0\) - знак отрицательный. - Для интервала C: \((8-3)^2(8-7) = 25 \cdot 1 > 0\) - знак положительный.

Таким образом, неравенство \((x-3)^2(x-7) < 0\) выполняется на интервалах A и B. Итак, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, 3) \cup (3, 7) \]

То есть, множество всех значений \(x\), для которых неравенство выполняется, представляет собой объединение интервалов от минус бесконечности до 3 (не включительно) и от 3 до 7 (не включительно).