Question

Три положительных числа ,взятые в определенном порядке , образуют арифметическую прогрессию. Если среднее из чисел уменьшить в 3 раза , то в том же порядке получится убывающая геометрическая прогрессия . найдите её знаменатель.

Answer 1

A b c
b/3
2b=a+c  c=2b-a
a*c=b^2/9  2ab-a^2=b^2/9  18ab-9a^2=b^2: 9a^2
b/3a=q |q|<1
2b/a-1=b^2/9a^2
b/a=t  18t-9=t^2  t^2-18t+9=0  9+-sqrt(72)=9+-6sqrt(2)
q=3+-2sqrt(2)
q- не удовлетворяет условию. такой последовательности не существует

Answer 2

Давайте обозначим три положительных числа в арифметической прогрессии как \( a - d, a, a + d \), где \( a \) - среднее значение, а \( d \) - разность прогрессии.

Из условия задачи у нас есть два факта:

1. Три числа образуют арифметическую прогрессию:

\[ \begin{align*} a - d, \quad & a, \quad a + d \end{align*} \]

2. Если среднее значение (\( a \)) уменьшить в 3 раза, то числа образуют убывающую геометрическую прогрессию:

\[ \begin{align*} \frac{a}{3}, \quad & a, \quad 3a \end{align*} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Для арифметической прогрессии:

\[ \begin{align*} a - d &= \frac{a}{3} - 2d \quad \text{(уравнение 1)} \end{align*} \]

2. Для геометрической прогрессии:

\[ \begin{align*} (a - d) \cdot (a + d) &= \frac{a}{3} \cdot a \cdot 3a \quad \text{(уравнение 2)} \end{align*} \]

Теперь решим систему этих уравнений.

Из уравнения 1 получаем:

\[ \begin{align*} a - d &= \frac{a}{3} - 2d \\ \frac{2a}{3} &= d \end{align*} \]

Подставим это значение в уравнение 2:

\[ \begin{align*} (a - d) \cdot (a + d) &= \frac{a}{3} \cdot a \cdot 3a \\ \left(a - \frac{2a}{3}\right) \cdot \left(a + \frac{2a}{3}\right) &= \frac{a}{3} \cdot a \cdot 3a \\ \left(\frac{a}{3}\right) \cdot \left(\frac{5a}{3}\right) &= \frac{a}{3} \cdot a \cdot 3a \\ \end{align*} \]

Упрощаем:

\[ \begin{align*} \frac{5a^2}{9} &= a^2 \end{align*} \]

Теперь сокращаем на \( a^2 \):

\[ \begin{align*} 5 &= 9 \end{align*} \]

Это противоречие означает, что исходная задача не имеет решения. Возможно, в условии задачи допущена ошибка, или она неполная. Проверьте условие задачи и уточните, если это необходимо.