Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2sin2x+cos4x на промежутке [0; pi/3]

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Минимум данной функции на заданном промежутке равен 1, а максимум равен 3/2, т.е. 1,5.

Answer 3

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = 2\sin(2x) + \cos(4x)\) на промежутке \([0, \frac{\pi}{3}]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. 3. Исследовать поведение функции вокруг найденных критических точек и на границах заданного промежутка.

Давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Нахождение производной

\[y = 2\sin(2x) + \cos(4x)\]

\[y' = 4\cos(2x) - 4\sin(4x)\]

Шаг 2: Нахождение критических точек

Теперь приравняем производную нулю и решим уравнение:

\[4\cos(2x) - 4\sin(4x) = 0\]

Мы можем разделить обе стороны на 4:

\[\cos(2x) - \sin(4x) = 0\]

Шаг 3: Исследование поведения функции

Теперь рассмотрим интервал \([0, \frac{\pi}{3}]\) и найденные критические точки. Также нужно проверить значения функции на границах интервала.

a. Подставим концы интервала:

- \(x = 0\): \(y = 2\sin(0) + \cos(0) = 2\) - \(x = \frac{\pi}{3}\): \(y = 2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\)

b. Решим уравнение \(\cos(2x) - \sin(4x) = 0\) и найдем значения \(x\).

Учитывая, что \(\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)\), уравнение примет вид:

\[\cos(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 0\]

Факторизуем:

\[\cos(2x)(1 - 2\sin(2x)) = 0\]

Это уравнение имеет два корня:

- \(x_1 = 0\) - \(x_2 = \frac{1}{4}\pi\)

Теперь исследуем знаки производной в интервалах, образованных найденными точками (0, \(x_2\), и \(\frac{\pi}{3}\)). Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале:

- В интервале \((-\infty, 0)\) возьмем \(x = -\frac{\pi}{6}\) - В интервале \((0, \frac{1}{4}\pi)\) возьмем \(x = \frac{1}{8}\pi\) - В интервале \((\frac{1}{4}\pi, \frac{\pi}{3})\) возьмем \(x = \frac{5}{12}\pi\)

Подставим эти значения в производную:

- \(y'(-\frac{\pi}{6}) = 4\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 4\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) < 0\) - \(y'(\frac{1}{8}\pi) = 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) > 0\) - \(y'(\frac{5}{12}\pi) = 4\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 4\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) < 0\)

Теперь мы можем сделать выводы:

- В точке \(x_1 = 0\) производная меняет знак с "—" на "+" (точка минимума). - В точке \(x_2 = \frac{1}{4}\pi\) производная меняет знак с "+" на "—" (точка максимума). - В конце интервала \(x = \frac{\pi}{3}\) производная отрицательна (точка минимума).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y\) равно 2 и достигается при \(x = \frac{\pi}{3}\), а наибольшее значение равно \(2\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\) и достигается при \(x = 0\).