Question

Найдите площадь треугольника ABC с вершинами A(-4;5) B(-2;-6) C(8;-8)

Answer 1

...................................

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника по координатам его вершин, можно воспользоваться формулой площади Герона. Однако, для начала, нам нужно определить длины сторон треугольника.

Длины сторон могут быть найдены с использованием расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Если \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) — координаты двух точек, то расстояние \(AB\) вычисляется по формуле:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Применяя это к нашим вершинам, получим длины сторон:

\[AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + ((-6) - 5)^2}\] \[BC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + ((-8) - (-6))^2}\] \[CA = \sqrt{((-4) - 8)^2 + (5 - (-8))^2}\]

После того, как найдены длины сторон, можно использовать формулу полупериметра и площади треугольника Герона:

\[s = \frac{AB + BC + CA}{2}\]

\[S = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - CA)}\]

Теперь вычислим все значения:

\[AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + ((-6) - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}\]

\[BC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + ((-8) - (-6))^2} = \sqrt{10^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104}\]

\[CA = \sqrt{((-4) - 8)^2 + (5 - (-8))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (13)^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313}\]

Теперь по формуле полупериметра:

\[s = \frac{\sqrt{125} + \sqrt{104} + \sqrt{313}}{2}\]

Подставим это значение в формулу площади Герона:

\[S = \sqrt{s \cdot (s - \sqrt{125}) \cdot (s - \sqrt{104}) \cdot (s - \sqrt{313})}\]

После подстановки числовых значений вы получите окончательный ответ.