Question

Найти промежутки убывания и возрастания функции y=x^2(x-3)

Answer 1

Функция возрастает на промежутке (-3;+ бесконечности)
Функция убывает на промежутке (-бесконечности;-3)

Answer 2

Ветви параболы будут направлены вверх так как a > 0
Функция будет опущена на 3 единицы вниз по Oy 
Промежутки возрастания : (-3 ; +бесконечности )  
Промежутки убывания : (-бесконечности ; -3 ) 

Answer 3

Функция, заданная выражением y = x^2(x-3), является квадратичной функцией с добавленным линейным членом. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания этой функции, нужно проанализировать ее производную.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = x^2(x-3). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом производной степенной функции.

1) Применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции).

y = x^2(x-3)

y' = (2x(x-3)) + (x^2 * 1)

y' = 2x^2 - 6x + x^2

y' = 3x^2 - 6x

Анализ знаков производной

Теперь, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы анализируем знаки производной. Промежутки, где производная положительна, соответствуют возрастанию функции, а промежутки, где производная отрицательна, соответствуют убыванию функции.

2) Найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить критические точки:

3x^2 - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

x = 0 или x = 2

Анализ знаков производной в каждом интервале

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные критические точки (x = 0 и x = 2), и определить знак производной на каждом интервале.

Интервал (-∞, 0):

Выберем x = -1 (значение между -∞ и 0) и подставим его в производную:

y' = 3(-1)^2 - 6(-1)

y' = 3 - 6

y' = -3

Производная y' меньше нуля на этом интервале, поэтому функция убывает на интервале (-∞, 0).

Интервал (0, 2):

Выберем x = 1 (значение между 0 и 2) и подставим его в производную:

y' = 3(1)^2 - 6(1)

y' = 3 - 6

y' = -3

Производная y' меньше нуля на этом интервале, поэтому функция убывает на интервале (0, 2).

Интервал (2, +∞):

Выберем x = 3 (значение больше 2) и подставим его в производную:

y' = 3(3)^2 - 6(3)

y' = 27 - 18

y' = 9

Производная y' больше нуля на этом интервале, поэтому функция возрастает на интервале (2, +∞).

Выводы

Таким образом, мы получили следующие промежутки возрастания и убывания функции y = x^2(x-3):

- Функция убывает на интервале (-∞, 0). - Функция убывает на интервале (0, 2). - Функция возрастает на интервале (2, +∞).