Question

Упростите выражение (1+ ctg2x ctg x) / (tgx + ctgx)

Answer 1

1+сtg2x*ctgx=1+1/tg2x*1/tgx=1+(1-tg²x)/(2tgx)*1/tgx=1+(1-tg²x)/(2tg²x)=
=(2tg²x+1-tg²x)/(2tg²x)=(1+tg²x)/(2tg²x)
tgx+ctgx=tgx+1/tgx=(tg²x+1)/tgx
(1+tg²x)/(2tg²x):(tg²x+1)/tgx=(1+tg²x)/(2tg²x)*tgx/(tg²x+1)=1/[2tgx)

Answer 2

Для упрощения выражения (1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) можно использовать следующие тождества:

- ctg x = 1 / tg x - 1 + tg2x = 1 / cos2x - 1 + ctg2x = 1 / sin2x

Подставляя эти тождества в исходное выражение, получаем:

(1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) = (1 + 1 / sin2x + 1 / tg x) / (tg x + 1 / tg x)

Затем приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем:

(1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) = ((sin2x + 1 + cos x) / (sin2x tg x)) / ((tg2x + 1) / tg x)

(1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) = ((sin2x + 1 + cos x) tg x) / (sin2x (tg2x + 1))

Далее используем формулы двойного угла:

- sin2x = 2 sin x cos x - cos2x = cos2x - sin2x

Получаем:

(1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) = ((2 sin x cos x + 1 + cos x) tg x) / (2 sin x cos x (cos2x - sin2x + 1))

Упрощаем выражение, сокращая общие множители:

(1 + ctg2x + ctg x) / (tgx + ctgx) = ((1 + cos x) / (cos2x - sin2x + 1))

Это окончательный ответ. Вы можете проверить его с помощью онлайн калькулятора или Wolfram|Alpha. Также вы можете посмотреть другие примеры упрощения тригонометрических выражений на сайтах и . Надеюсь, это было полезно для вас.