Question

Сколько существует 2015-значных чисел таких, что при вычёркивании его любой одной цифры получается 2014-значное число, и это 2014-значное число является делителем исходного числа (Напомним, что многозначное число не может начинаться с нуля и что на ноль ничего не делится, кроме, быть может, нуля)?

Answer 1

Пусть многозначное число равно 10A + c, c — последняя цифра. После вычёркивания последней цифры получаем A, А — делитель числа 10А + с, тогда c делится на А. Если А > 9, то с = 0; при 1 <= c <= 9 c строго меньше A, поэтому с не может делиться на А.

Из этого получаем, что все числа, у которых есть шанс оказаться хорошими, имеют вид ab0000...0, причем a, b — не нули. Вычёркивание нулей удовлетворяет условию, проверяем вычёркивание a и b.

Вычеркивание a: ab0000...0 делится на a0000...0, значит, 10a + b делится на a, откуда b делится на a.
Вычёркивание b: ab0000...0 делится на b0000...0, значит, 10a + b делится на b, откуда 10a делится на b.

b делится на a: обозначим b = ka, k — натуральное, не большее 9.
10a делится на b, значит, 10a делится на ka, k — делитель 10. Остаются варианты k = 1, 2 или 5.

k = 1: a = b, 9 вариантов (11... - 99...)
k = 2: b = 2a, 4 варианта (12..., 24..., 36..., 48)
k = 5: b = 5a, 1 вариант (15...)

Всего 9 + 4 + 1 = 14 чисел.

Answer 2

Number of 2015-Digit Numbers Meeting Specific Criteria

To find the number of 2015-digit numbers meeting the given criteria, we need to consider the properties of such numbers.

Properties of the 2015-Digit Numbers: 1. When any one digit is removed from the 2015-digit number, the resulting number is a 2014-digit number. 2. The 2014-digit number obtained by removing a digit from the original number is a divisor of the original number.

Calculation and Solution

To solve this problem, we need to consider the properties of the 2015-digit numbers and the divisibility rules.

Given that the 2014-digit number obtained by removing a digit from the original number is a divisor of the original number, we can deduce that the 2015-digit number must be divisible by all the 2014-digit numbers that can be formed by removing any one digit.

However, the number of 2014-digit numbers that can be formed by removing any one digit from a 2015-digit number is 2015. Therefore, the 2015-digit number must be divisible by all 2015 of these 2014-digit numbers.

This means that the 2015-digit number must be a multiple of the product of all 2015 of these 2014-digit numbers.

Given that the 2015-digit number cannot start with zero, we can calculate the number of such numbers using combinatorics and the rules of divisibility.

Let's calculate the number of 2015-digit numbers meeting the given criteria.

Conclusion

The calculation to determine the exact number of 2015-digit numbers meeting the specified criteria involves complex combinatorial and divisibility considerations. Further analysis and computation are required to provide the precise number of such numbers.