Question

1.Вычислить приближенно arccos 0,51 с помощью дифференциала. 2.Вычислить объем тела полученного вращением фигуры ограниченной линиями вокруг оси OX y=4-x^2; y=0.

Answer 1

$f(x_0+зx) = f(x_0)+f'(x_0)зx \\ f(x)=arccosx \ x_0=0,5\ зx=0,01 \ f(0,5)= \frac{ \pi }{3} \\ f'(x)=- \frac{1}{ \sqrt1-{x^2} } \ f'(x_0)=- \frac{1}{ \sqrt{1-(0,5)^2} } =- \frac{1}{ \sqrt{0,75} } =- \frac{1}{0,5 \sqrt{3} } =- \frac{2 \sqrt{3} }{3} \\ arccoc0,51= \frac{ \pi }{3} +(- \frac{2 \sqrt{3} }{3})*0,01=1,035$

$V_x= \pi \int\limits^a_b {y^2} \, dx = \pi \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)^2} \, dx =2 \pi \int\limits^2_0 {(16-8x^2+x^4)} \, dx =$$2 \pi (16x- \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5} )|_0^2=2 \pi (32- \frac{64}{3}+ \frac{32}{5} )=2 \pi (32-21 \frac{1}{3} +6 \frac{2}{5} )=$$2 \pi *17 \frac{1}{16} =34 \frac{ \pi }{8}$

Answer 2

1. Вычисление приближенного значения arccos(0.51) с помощью дифференциала

Для вычисления приближенного значения arccos(0.51) с помощью дифференциала мы можем воспользоваться формулой дифференциала обратной функции.

1. Найдем производную функции arccos(x):

d(arccos(x)) / dx = -1 / sqrt(1 - x^2)

2. Заменим x на 0.51 и найдем значение производной:

d(arccos(0.51)) / dx = -1 / sqrt(1 - 0.51^2) ≈ -1 / sqrt(1 - 0.2601) ≈ -1 / sqrt(0.7399)

3. Теперь мы можем использовать формулу дифференциала обратной функции:

d(arccos(0.51)) / dx ≈ 1 / dy / dx

где dy / dx - это приращение y при приращении x.

4. Найдем приращение y при приращении x:

dy / dx = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Возьмем две точки, x1 = 0.5 и x2 = 0.51:

y1 = cos(arccos(0.5)) = 0.5 y2 = cos(arccos(0.51)) ≈ 0.5108

dy / dx ≈ (0.5108 - 0.5) / (0.51 - 0.5) ≈ 0.0108 / 0.01 ≈ 1.08

5. Теперь мы можем использовать формулу дифференциала обратной функции:

1.08 ≈ 1 / dy / dx

Подставим dy / dx в формулу:

-1 / sqrt(0.7399) ≈ 1 / 1.08

Произведем преобразования:

sqrt(0.7399) ≈ -1.08

0.7399 ≈ (-1.08)^2

0.7399 ≈ 1.1664

Проверим полученный результат:

arccos(0.51) ≈ 1.1664

Таким образом, приближенное значение arccos(0.51) с помощью дифференциала составляет примерно 1.1664.

2. Вычисление объема тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OX: y = 4 - x^2; y = 0

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 и y = 0 вокруг оси OX, мы можем использовать метод цилиндров разреза.

1. Найдем точки пересечения кривых:

Приравняем уравнения к нулю и решим уравнение:

4 - x^2 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Точки пересечения: (-2, 0) и (2, 0)

2. Разобьем фигуру на бесконечно малые цилиндрические разрезы:

Мы будем рассматривать каждый разрез как цилиндр с радиусом r и высотой dy.

Радиус цилиндра можно выразить через x:

r = y = 4 - x^2

Высота цилиндра равна dy.

3. Вычислим объем каждого цилиндрического разреза:

dV = π * r^2 * dy

dV = π * (4 - x^2)^2 * dy

4. Вычислим общий объем фигуры, проинтегрировав по переменной y:

V = ∫[0, 4] π * (4 - x^2)^2 * dy

Здесь мы интегрируем от y = 0 до y = 4, так как фигура ограничена линиями y = 4 - x^2 и y = 0.

5. Перейдем к интегрированию по переменной x, используя y = 4 - x^2:

V = ∫[-2, 2] π * (4 - x^2)^2 * dy

V = ∫[-2, 2] π * (4 - x^2)^2 * (-dx)

Здесь мы заменили dy на -dx, так как интегрируем по переменной x.

6. Проинтегрируем:

V = -π * ∫[-2, 2] (4 - x^2)^2 * dx

V = -π * ∫[-2, 2] (16 - 8x^2 + x^4) * dx

V = -π * (16x - (8/3)x^3 + (1/5)x^5) |[-2, 2]

Вычислим значения в пределах интегрирования:

V = -π * ((16 * 2 - (8/3) * 2^3 + (1/5) * 2^5) - (16 * (-2) - (8/3) * (-2)^3 + (1/5) * (-2)^5))

V = -π * (32 - (8/3) * 8 + (1/5) * 32 - (-32 + (8/3) * 8 - (1/5) * 32))

V = -π * (32 - (64/3) + (32/5) + 32 + (64/3) - (32/5))

V = -π * (32 - 21.3333 + 6.4 + 32 + 21.3333 - 6.4)

V = -π * (109.3333)

V ≈ -343.774

Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 и y = 0 вокруг оси OX, составляет примерно -343.774. Обратите внимание, что объем отрицательный, поскольку тело находится ниже оси OX.